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Comment montrer qu'une famille est un espace vectoriel ?
Définition 4 Une famille F = { v1,, vn} d'un espace vectoriel V sur un corps K est dite base de V lorsqu'elle est libre et génératrice.
Par exemple la famille {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 2, 4)} est une base de R3.
Comment montrer que F est un Sev ?
Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E∈F 0 E ∈ F et que, pour tout couple (x,y)∈F2 ( x , y ) ∈ F 2 et tout scalaire λ∈K λ ∈ K , on a {x+y∈Fλx∈F.
Comment justifier qu'un ensemble est un espace vectoriel ?
Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs, de sorte que l'on puisse additionner (et soustraire) deux vecteurs u, v pour en former un troisième u + v (ou u − v) et aussi afin que l'on puisse multiplier chaque vecteur u d'un facteur λ pour obtenir un vecteur λ · u.
Voir le paragraphe 6 (construction d'une base de E ⊕ F).
Remarque.
Pour montrer que les sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires, il suffit de montrer que F ∩ G = {0} et dimF + dimG = dimE.

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