systeme lineaire resolution

PDF	Systèmes linéaires Université Paris-Dauphine Algèbre 1 DU1 2009-10 Systèmes linéaires 1 Préliminaires : Lisez une première fois ce polycopié de manière rapide puis relisez-le en es-

Quels sont les systèmes linéaires ?
Les systèmes linéaires interviennent à travers leurs applications dans de nombreux contextes, car ils forment la base calculatoire de l’algèbre linéaire. Ils permettent également de traiter une bonne partie de la théorie de l’algèbre linéaire en dimension finie.
Quel est le résultat théorique des systèmes linéaires ?
Voici un résultat théorique important pour les systèmes linéaires. Théorème 1. Un système d’équations linéaires n’a soit aucune solution, soit une seule solution, soit une infinité de solutions. En particulier, si vous trouvez 2 solutions différentes à un système linéaire, alors c’est que vous pouvez en trouver une infinité !
Quel est le système linéaire de n équations à P inconnues ?
Soit (S) un système linéaire de n équations à p inconnues. Nous avons vu qu’il existe toujours un système linéaire échelonné réduit (S′)qui est équivalent à (S). En supposant qu’on n’ait pas supprimé les lignes du type 0 = 0, le système (S′) est également un système de n équations à p inconnues.
Comment calculer les degrés de liberté d’un système linéaire homogène ?
Il est égal au nombre d’inconnues liées. ⋄l’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène est non vide et stable par addition et multiplication par une constante. De plus, si un système linéaire homogène à p inconnues est de rang r, alors l’ensemble de ses solution a p−r “degrés de liberté" (autant que d’inconnues libres).

3.2. Opérations sur les équations d’un système

Nous allons utiliser trois opérations élémentaires sur les équations (c’est-à-dire sur les lignes) qui sont : exo7.emath.fr

Systèmes linéaires

Vidéo Vidéo Vidéo partie partie partie Introduction Théorie Résolution aux des par systèmes systèmes la d'équations linéaires méthode du linéaires pivot de Gaus Fiche d'exercices Systèmes d'équations linéaires L’algèbre linéaire est un outil essentiel pour toutes les branches des mathématiques, en particulier lorsqu’il s’agit de modéliser puis réso

Définition 4.

On dit que deux systèmes linéaires sont équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions. À partir de là, le jeu pour résoudre un système linéaire donné consistera à le transformer en un système équivalent dont la résolution sera plus simple que celle du système de départ. Nous verrons plus loin comment procéder de façon systématique pour arrive

2.2. Différents types de systèmes

Voici un résultat théorique important pour les systèmes linéaires. exo7.emath.fr

Théorème 1.

Un système d’équations linéaires n’a soit aucune solution, soit une seule solution, soit une infinité de solutions. En particulier, si vous trouvez 2 solutions différentes à un système linéaire, alors c’est que vous pouvez en trouver une infinité Un système linéaire qui n’a aucune solution est dit incompatible. La preuve de ce théorème sera vue d

Définition 5.

Un système est échelonné si : le nombre de coefficients nuls commençant une ligne croît strictement ligne après ligne. Il est échelonné réduit si en plus : le premier coefficient non nul d’une ligne vaut 1 ; et c’est le seul élément non nul de sa colonne. exo7.emath.fr

3.4. Systèmes homogènes

Le fait que l’on puisse toujours se ramener à un système échelonné réduit implique le résultat suivant : exo7.emath.fr

Théorème 2.

Tout système homogène d’équations linéaires dont le nombre d’inconnues est strictement plus grand que le nombre d’équations a une infinité de solutions. exo7.emath.fr

Méthodes Directes de Résolution de Systèmes Linéaires Partie 01

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