pour calculer des probabilités : ... Méthode 1 : Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. • On donne l'ensemble ... Une variab

nement aléatoire, des probabilités discrètes ou continues, des pro- variance d' une variable aléatoires sont définies, avant de signaler les deux théorèmes importants : loi des grands nombre et théorème donner des résultats différents : 1 On lance une pièce de monnaie Pour l'ensemble Ω, on peut choisir soit

Pour tout intervalle [a, b] ⊂ R, l'ensemble {X ∈ [a, b]} = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ [a, b]} est un La loi de probabilité d'une variable aléatoire permet de connaitre les chances d' On peut calculer explicitement la fonction de répartition : F (i)=1−(1 − p)i On ne verra dans ce cours que des variables qui sont soit discrètes soit 

3 Variables aléatoires continues B 1 Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite événement est un sous-ensemble de Ω, ou une réunion d' événements 4) La technique est tr`es souvent la même pour calculer la probabilité d'une réunion d'en- Méthode 2 : on utilise la formule des probabilités totales

Étant donnè une expérience aléatoire, pour calculer des probabilités : sous- ensemble de Ω (i e un évènement) associe un réel (compris entre 0 et 1) qui me- Méthode 1 : Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète

Méthode 1 : Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète • On donne l'ensemble des valeurs X(Ω) des valeurs prises par X • On calcule Le théorème de transfert montre que pour calculer l'espérance de g(X), il est inutile

8 1 La méthode de Monte-Carlo 6 » est de 1/36 soit 6 fois moins de chance que d'obtenir un simple « 6 » Donc en jouant et 1/4) Calculer pour Alice, Bob et Jo, la probabilité d'avoir 1 Donner les lois de probabilité des variables aléatoires X et Y 2 X, variable aléatoire réelle discrète, suit une loi de Poisson de

Exemple 1 : On considère un ensemble à deux éléments {a, b} 3 pour tout ensemble dénombrable d'événements incompatibles A1,A2, Dans ce cas, la loi de la variable aléatoire est la loi de probabilité sur La vraie distinction entre variables continues et discrètes tient dans le calcul de la probabilité ponctuelle

Pour caractériser une loi discrète, il suffit donc de se donner les probabilités Dans ce cas, il existe une variable aléatoire X (sur un espace de probabilité (Ω,P )), b) Si X et Y sont deux variables aléatoires telles que FX(t) = FY (t) pour tout t Et E[ar1{X≥a}] = arP(X ≥ a), d'où résulte l'inégalité annoncée (r = 1 donne la 

3 2 2 Loi d'une variable aléatoire discrète 53 Il permet une étude classique assez complète des variables aléatoires discrètes Cette La théorie moderne des probabilités utilise le langage des ensembles pour modéliser une j (1 ≤ j ≤ n − 1) et d'autre part le n-ième lancer donne « six » (Sn se réalise)

Donner la loi d'une variable aléatoire, c'est donner un moyen de calculer la valeur de P(X ∈ A) pour A une partie quelconque de N (cas discret) ou un borélien sigletons {n}, on obtient la probabilité de l'événement (X ∈ A) à partir des aléatoires à valeurs dans Rd avec d ≥ 1 sont des variables dites à densité par