Inversion d 'une matrice 3x3

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Comment déterminer l'inverse d'une matrice d'ordre 3 ?
On résout ( S ) par la méthode du pivot de Gauss.
On a donc pour toutes matrices X et Y de M 3 , 1 ( R ) l'équivalence A X = Y ⇔ X = A ′ Y .
On a donc pour toute matrice Y de M 3 , 1 ( R ) , Y = A A ′ Y on en déduit A A ′ = I 3 .
De même pour toute matrice X de M 3 , 1 ( R ) , X = A ′ A X et donc A ′ A = I 3 .
Comment inverser une matrice ?
Inverser une matrice s'effectue de trois manières : trouver une forme AA-1 = I ; Calcul de l'inverse par la méthode du pivot de Gauss : Calcul de l'inverse par la résolution d'un système.
Il est donc important de savoir inverser une matrice pour ne pas se retrouver bloqué lors des DST et surtout aux concours.
Quand Peut-on inverser une matrice ?
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle.
Solution détaillée.
On peut calculer directement le déterminant de A α en le développant suivant la troisième ligne ou la troisième colonne.
Dans ce cas la matrice est inversible et son rang est égal à 3.
Lorsque α ∈ { 0 , π } le rang de A α est strictement inférieur à 3.

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