1 Calcul des perturbations

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1 Calcul des perturbations ceci est l’équation d’un mobile dans un potentiel en kx2 + k0x4 La solution général de l’équation non perturbée est acos(!t+ ˚) Sans perte de généralité on supposera ˚= 0 Nous cherchons alors la solution de l’équation perturbée sous forme de x(t) = acos(!t) + x

PDF	Chapitre 8 Méthodes dapproximation; résolution approchée

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L3 { Math ematique pour la physique TD 14 { Calcul des

TD 14 { Calcul des perturbations I Exercice 1 Soit l’ equation x3 2x2 p 1 \"qx 2 0: Une solution de l’ equation non-perturb ee (i e pour \" 0) est x 0 1 Trouver la correction a cette racine a l’ordre 1 en \" Exercice 2 Trouver les corrections jusqu’ a l’ordre 2 en \"de la racine de l’ equation xsinx \" pour x 0 ˇ Les solutions

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1 Oscillations anharmoniques Théorie des perturbations

1 Oscillations anharmoniques Théorie des perturbations On considère une particule sans spin à une dimension Sa dynamique est décrite par le Hamiltonien : H^ = H^ 0 + H^ 1 avec H^ 0 = p^2 2m + 1 2 Kq^2 qui est un oscillateur harmonique et un terme de perturbation : H^ 1 = q^4 en supposant ˝1 Rappels sur l'oscillateur Harmonique : on a H

Comment calculer les valeurs perturbées d’une grandeur physique ?
3. Valeurs perturbées d’une grandeur physique Une formule utile à connaître : celle des valeurs perturbées des éléments matriciels d’une grandeur physique f quelconque calculés, aux termes du second ordre près, au moyen des fonctions : ψn = ψ ( 0) n + ψ ( 1) n avec~: ψ ( 1) n de (7)
Qu'est-ce que la perturbation ?
Notons qu’à l’issue de la perturbation, le niveau d’énergie primitivement dégénéré cesse en général de l’être, les racines de l’équation (12) étant en général distinctes. On dit que la perturbation lève la dégénérescence. Cette levée peut être totale ou partielle.
Qu'est-ce que la théorie des perturbations ?
III. Théorie des perturbations (1) - Claude Giménès Résolution de l'équation de Schrödinger par la méthode des perturbations. Perturbations indépendantes et dépendantes du temps. Valeurs propres non dégénérées et dégénérées. Exemple d'une perturbation de forme périodique.
Quelle est la différence entre une perturbation et une dégénérescence ?
On dit que la perturbation lève la dégénérescence. Cette levée peut être totale ou partielle. Dans ce cas, après superposition de la perturbation, la multiplicité de la dégénérescence se trouve diminuée.

N les

vecteurs propres petit, formant avec clasées par ordre croisant www-fourier.ujf-grenoble.fr

^ H1 est

matrice dans la En résumé on un autre opérateur appelé base cherche vecteurs propres des formules pour les valeurs propres une base orthonormée et jni : n ( ) dans la n ( )i = www-fourier.ujf-grenoble.fr

n ( )i

: inconnus Remarque sur les soient égales à une Dans le cas Au dégénérescences même valeur N contraire si www-fourier.ujf-grenoble.fr

H0 ^ soit

propre vecteurs propres asociés à " de cete ces valeur propre www-fourier.ujf-grenoble.fr

N vecteurs

espace Alors de au à tée dimension premier orde, les cet espace forment une " base o.n. de l' Perturbation d'un niveau dégénéré. Supposons que la valeur dégnére avec la multiplicité N. On note jn;ii; www-fourier.ujf-grenoble.fr

i = 1;: : : ;N

des " et orthogonaux entre eux. Autrement dit, espace propre dégénéré , noté www-fourier.ujf-grenoble.fr

Hi;j

sont solution de l'équation aux valeurs propres de la matrice www-fourier.ujf-grenoble.fr

= 0. Ainsi

vecteur inconnu est caractérisé par ses la deuxième équation ( le vecteur www-fourier.ujf-grenoble.fr

c = @ ~ k A

E k B E. ~ l'intensité a la conséquence forces électriques et suivante : pour une particule magnétiques sont respectivement : www-fourier.ujf-grenoble.fr

FE:

Donc pour des viteses non relativistes on ne gardera donc que la force de charge c v . électrique du champ www-fourier.ujf-grenoble.fr

D: ~ E(~x0; ~ t)

moment dipolaire électrique de l'atome à un électron. Dans cete avec approximation dipolaire H ^ = le Hamiltonien de l'électron s'écrit : www-fourier.ujf-grenoble.fr

Pab(t)

et ses oscilations si il y a résonances : Supposons b;a = l'état > www-fourier.ujf-grenoble.fr

0 (car

Eb Ea la situation est symétrique). La résonance se produit pour = soit Eb www-fourier.ujf-grenoble.fr

= Ea

~ (~). Cela signie qu'il y a une transition préférentiele de www-fourier.ujf-grenoble.fr

Eb

= Ea ~ Ea, l'atome a gagné l'énergie ~ de la part du électromagnétique classique . Eb = Ea www-fourier.ujf-grenoble.fr

~. C'est le phénomène

d'émission stimulée. Les résonance résultats que nous en mécanique clasique linéaire venons (résonances d'obtenir sont et batements). C'est très le analogues même aux phénomène de phénomène ici retrouvé dans le cadre des états quantiques. On a jWabj = jWbaj montrant que dans cete description, le procesus d'absorption et émision stimulée ont la même

8.2.4 Transition

rese à la On considère transition de l'état distribution vers toujours le fondamental Lorentzienne, partie imaginaire de E. les continuum ; www-fourier.ujf-grenoble.fr

Ea

(état lié) vers un état du continuum Eb. =E + a h ω Continuum Transition www-fourier.ujf-grenoble.fr

Fondamental

Question b), : donner En sommant sur les probabilités www-fourier.ujf-grenoble.fr

Xinc P ab(t)

b Z = inc P ab(t) (E) dE car dn dn = dE = (E) dE dE Donc, comme dE = ~ , d www-fourier.ujf-grenoble.fr

E0 est

c'est quantiques à dire posibles. le minimum de de l'opérateur H ^ est donnée par www-fourier.ujf-grenoble.fr

j i

sera une bonne approximation de l'état fondamental www-fourier.ujf-grenoble.fr

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