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Comment déterminer la matrice de Jordan ?
Une matrice diagonale par blocs du type Jλ,l est appelé matrice de Jordan. caractéristiques de u.
Cette décomposition est stable par u, il suffit donc de montrer l'existence dans le cas où u a un seul sous-espace caractéristique c'est-à-dire u = λId + n, avec n nilpotente.
Comment faire la décomposition de Dunford ?
Théorème : Soit u un endomorphisme d'un K -espace vectoriel E de dimension finie dont le polynôme caractéristique est scindé sur K .
Alors il existe un unique couple (d,n) d'endomorphismes de E tels que : u=d+n u = d + n .
Comment trouver la base de Jordan ?
On trouve une base de Jordanisation en cherchant un vecteur u tel que w = (ϕ − λId)2(u) = 0, on pose v = (ϕ − λId)(v), on compl`ete la base du sous-espace propre par x, (w, v, u, x) est la base cherchée.
Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.

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