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Comment montrer que tout ensemble fini est compact ?
Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K .
En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.
Comment savoir si un ensemble est compact ?
On dit que (E,d) est un espace compact si et seulement si de tout recouvrement de E par des ouverts de E, on peut en extraire un sous-recouvrement fini.
En d'autres termes, si E = ⋃i∈I Ui o`u les Ui sont des ouverts, il existe J fini, J ⊂ I tel que E = ⋃i∈J Ui.
Qu'est-ce qu'un compact en mathématiques ?
On dit que (X, d) est compact s'il a la propriété suivante : pour toute suite (xn) d'éléments de X, il existe une sous-suite (xnk ) qui converge dans X.
Un exemple fondamental d'espace compact est donné par un intervalle fermé borné (un segment) de R ou, plus généralement n'importe quelle partie fermée bornée de R.
Définition 3.1.
1) On dit qe (E,d) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (E,d) admet une suite extraite convergeant vers un point de E.
Une partie A de E est dite compacte si le sous-espace métrique (A, d) est compact.

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