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Les polynômes – Exercices – Devoirs

1 Déterminer le reste de la division euclidienne de Pn par Al X 2 — 3X 4 2 Déterminer le reste de la division euclidienne de Pn par 142 X 2 + 1 soit le polynôme P X4 + X2 + 1 1 Déterminer les racines de P dans C 2 Factoriser P dans C[X] 3 En déduire une factorisation de P dans IRI X] soit le polynôme P X4 + 5X3 + 10X2 + 12X

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TD 8 Introduction aux polynômes et division euclidienne

Introduction aux polynômes et division euclidienne 5 heures – Modules 11 et 12 Questions de cours 1)Soient n∈N et (a 0 a n) ∈Kn+1 Un polynôme est une expression formelle dé˙nie de la façon suivante : P(X) = Xn k=0 a kX k 2)a) R[X] est l’ensemble des polynômes à coe˝cients réels

Comment calculer la division euclidienne des polynômes ?
Exercices sur la division euclidienne des polynômes Exercice 1 Calculer le quotient et le reste de chacune des divisions suivantes de Apar B : (1)Ax()=+x32x+x+1 et Bx()=+x21 (2)Ay( )=+y323y2+ et By( )=y2−y−1 (3)Az()=z3−4z+5 et 6 3
Comment faire une division de polynômes ?
On pose une division de polynômes comme on pose une division euclidienne de deux entiers. Par exemple si 1. Alors on trouve 2. On n’oublie pas de Exemple 5. 5. Proposition 4. 0. . Remarque. est un polynôme unitaire. . ). d’Euclide. Algorithme d’Euclide. 0. ... 2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES 5 Le degré du reste diminue à chaque division.
Comment calculer les coefficients de la division euclidienne ?
Ainsi 2. (a) A = X5 + 3X4 + 2X3 X2 1. Lorsqu’on effectue la division euclidienne A = BQ + R, les coefficients de Q sont obtenus par des opérations élémentaires (multiplication, division, addition) à partir des coefficients de A et B : ils restent donc dans Q. De plus, R = A BQ est alors encore à coefficients rationnels.
Comment calculer la racine d’une division euclidienne ?
Si on note a et b les racines de P alors a et b sont racines du reste de la division euclidienne de P par P 0. On trouve ainsi a = −2 et b = 3 donc P (X) = (X + 2)2(X − 3)2 n et donc an = 0, donc a = 0 mais 0 n’est pas racine de Pn (car son coefficient constant n! est non nul), donc Pn n’a pas de racine multiple. On pose Q(X) = P (X) − P (0).

Définition 1.

Un polynôme à coefficients dans K est une expression de la forme exo7.emath.fr

2. Arithmétique des polynômes

Il existe de grandes similitudes entre l’arithmétique dans Z et l’arithmétique dans K X . Cela nous permet d’aller [ ] assez vite et d’omettre certaines preuves. exo7.emath.fr

r sont

Démonstration. Ce théorème résulte du théorème de d’Alembert-Gauss. exo7.emath.fr

X 2X4 X 1

est déjà décomposé en facteurs irréductibles dans R ( ) = ( X alors que sa [ p ] décomposition dans exo7.emath.fr

P QE

= + donc P > degQ. La partie polynomiale est donc le quotient de cette division. Et on s’est ramené au = + où degR Q cas d’une fraction < R avec degR Q degQ. Voyons en détails comment continuer sur un exemple. exo7.emath.fr

Division euclidienne dun polynôme par un polynôme

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Comment faire la division euclidienne des polynômes ?

Division euclidienne On obtient alors la première ligne (1) en multipliant le diviseur (x2+2) par le premier terme du quotient (6x2).
. On poursuit ensuite en appliquant les règles usuelles de la division.
. Le dernier terme (2x+4), étant de degré inférieur à celui du diviseur, représente le reste de la division.

Comment montrer qu'il existe un polynôme ?

Si CA et CB alors Cpgcd(A,B).
. Soient A,B,C ? K[X].
. Si ABC et pgcd(A,B) = 1 alors AC.
. Soient A,B ? K[X] des polynômes non nuls, alors il existe un unique polynôme unitaire M de plus petit degré tel que AM et BM.

Comment montrer qu'un polynôme est de degré n ?

On suppose que pour tout polynôme B tel que deg(B) < n (n ? N? fixé) et pour tout polynôme A non nul, il existe Q, R ? K[X] tels que B = AQ + R avec deg(R) < deg(A).
. Soit B un polynôme de degré n.
. Si deg(A) > n = deg(B) alors l'écriture B = A × 0 + B permet de conclure.

Comment factoriser avec la division euclidienne ?

La division euclidienne est la méthode de factorisation qui est certainement la plus technique et la plus âpre.
. Mais c'est aussi la plus prometteuse car elle dépasse le cadre des binômes x - a.
. Une racine de ce polynôme f est le réel a = -2.
. Donc il existe un polynôme g tel que pour tout réel x f(x) = (x + 2) .

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