division euclidienne polynome démonstration PDF Cours,Exercices ,Examens

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Comment montrer qu'un polynôme en divise un autre ?
Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des polynômes
Et un polynôme est divisible par un autre polynôme si le quotient du premier par le deuxième est un polynôme. par exemple, 6 x 2 3 x = 2 x ‍ et 6 x 2 2 x = 3 x ‍ , donc 6 x 2 ‍ est divisible par ‍ et par ‍ .
Comment montrer qu'un polynôme existe ?
Si K est un corps commutatif et f et g sont des polynômes dans K[X] avec g ≠ 0, alors il existe des polynômes q et r dans K[X] avec : f = q g + r et tels que le degré de r soit strictement plus petit que le degré de g.
Les polynômes q et r sont uniquement déterminés par f et g.
Comment faire la division des polynômes ?
Pour effectuer la division d'un polynôme par un monôme, on doit :
1Distribuer la division sur chacun des termes du polynôme.
2) Pour chaque terme, diviser les coefficients ensemble.
3) Pour chaque terme, soustraire les exposants de même base.
Corollaire 1 : Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Démonstration : Si D|A et D|B, on écrit la division euclidienne de A par B : A = BQ + R. Soient L et M les polynômes tels que A = DL et B = DM. Alors en remplaçant on obtient R=A BQ = DL QDM = D(L QM) donc D|R. Réciproquement, si B = DL et R = DL, alors A = BQ + R = D(QL + RM).

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Comment faire la division euclidienne d'un polynôme ?

Théorème de la division euclidienne des polynômes — Soient A et B deux polynômes à coefficients dans K, avec B non nul, il existe un unique couple (Q, R) tel que A est égal à BQ + R et le degré de R est strictement plus petit que celui de B.

Comment montrer qu'un polynôme est unique ?

Si ABC et pgcd(A,B) = 1 alors AC. Soient A,B ? K[X] des polynômes non nuls, alors il existe un unique polynôme unitaire M de plus petit degré tel que AM et BM.
. Cet unique polynôme est appelé le ppcm (plus petit commun multiple) de A et B qu'on note ppcm(A,B).

Comment montrer qu'un polynôme est de degré n ?

On suppose que pour tout polynôme B tel que deg(B) < n (n ? N? fixé) et pour tout polynôme A non nul, il existe Q, R ? K[X] tels que B = AQ + R avec deg(R) < deg(A).
. Soit B un polynôme de degré n.
. Si deg(A) > n = deg(B) alors l'écriture B = A × 0 + B permet de conclure.

Quel est le polynôme nul ?

Un polynôme nul est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, y compris le coefficient constant.

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En déduire que tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle Exercice 1 1 17 (Extrait de l'Examen d'Analyse, 1er semestre SMA/SMI 2005, F SC n∈ ]a, b[ ∩ Q ce qui achève la démonstration du résultat sinus jusqu' à l'ordre 4 seulement le résultat de la division euclidienne donnera 1 + x2 6 +

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