division euclidienne polynome explication PDF Cours,Exercices ,Examens

PDF	1 Opérations sur les polynômes 1 Montrer que si Aet Bsont deux polynômes à coefﬁcients dans Q alors le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B ainsi que pgcd(A;B) sont aussi à coefﬁcients dans Q 2 Soit a;b;c2C distincts et 0 < p

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Les polynômes – Exercices – Devoirs

Trouver un polynôme P tel que le reste de la division euclidienne de P par X X— 1 X +1 soit égal 3 Effectuer la division euclidienne de A par B dans les cas suivants : — +2 B + —X 1 - B —X2 -3X +5; — - 3iX +5 B = X +1 + i Pour les polynômes suivants donner la décomposition en produit de po-

Comment calculer la division euclidienne des polynômes ?
Exercices sur la division euclidienne des polynômes Exercice 1 Calculer le quotient et le reste de chacune des divisions suivantes de Apar B : (1)Ax()=+x32x+x+1 et Bx()=+x21 (2)Ay( )=+y323y2+ et By( )=y2−y−1 (3)Az()=z3−4z+5 et 6 3
Comment faire une division de polynômes ?
On pose une division de polynômes comme on pose une division euclidienne de deux entiers. Par exemple si 1. Alors on trouve 2. On n’oublie pas de Exemple 5. 5. Proposition 4. 0. . Remarque. est un polynôme unitaire. . ). d’Euclide. Algorithme d’Euclide. 0. ... 2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES 5 Le degré du reste diminue à chaque division.
Comment calculer les coefficients de la division euclidienne ?
Ainsi 2. (a) A = X5 + 3X4 + 2X3 X2 1. Lorsqu’on effectue la division euclidienne A = BQ + R, les coefficients de Q sont obtenus par des opérations élémentaires (multiplication, division, addition) à partir des coefficients de A et B : ils restent donc dans Q. De plus, R = A BQ est alors encore à coefficients rationnels.
Comment factoriser un polynôme ?
D’où la factorisation dans C[X] : On sait déjà factoriser X6 +1, il reste donc à factoriser le polynôme X3 +1 = (X +1)(X2 X +1), où X2 X + 1 n’a pas de racine réelle.

Définition 1.

Un polynôme à coefficients dans K est une expression de la forme exo7.emath.fr

2. Arithmétique des polynômes

Il existe de grandes similitudes entre l’arithmétique dans Z et l’arithmétique dans K X . Cela nous permet d’aller [ ] assez vite et d’omettre certaines preuves. exo7.emath.fr

r sont

Démonstration. Ce théorème résulte du théorème de d’Alembert-Gauss. exo7.emath.fr

X 2X4 X 1

est déjà décomposé en facteurs irréductibles dans R ( ) = ( X alors que sa [ p ] décomposition dans exo7.emath.fr

P QE

= + donc P > degQ. La partie polynomiale est donc le quotient de cette division. Et on s’est ramené au = + où degR Q cas d’une fraction < R avec degR Q degQ. Voyons en détails comment continuer sur un exemple. exo7.emath.fr

Division euclidienne dun polynôme par un polynôme

Comment poser une division euclidienne de deux polynômes?

PDF	Polynômes Exercice 5. 1. Montrer que si A et B sont deux polynômes à coefficients dans Q alors le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B

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Comment faire la division euclidienne d'un polynôme ?

Théorème de la division euclidienne des polynômes — Soient A et B deux polynômes à coefficients dans K, avec B non nul, il existe un unique couple (Q, R) tel que A est égal à BQ + R et le degré de R est strictement plus petit que celui de B.

Comment montrer qu'un polynôme est constant ?

– Un polynôme de la forme P = a0 avec a0 ? K est appelé un polynôme constant. Si a0 = 0, son degré est 0.

Comment caractériser un polynôme ?

Un polynôme, en alg?re générale, à une indéterminée sur un anneau unitaire est une expression de la forme : où X est un symbole appelé indéterminée du polynôme, supposé être distinct de tout élément de l'anneau, les coefficients a_i sont dans l'anneau, et n est un entier naturel.

Comment montrer qu'un polynôme est de degré n ?

On suppose que pour tout polynôme B tel que deg(B) < n (n ? N? fixé) et pour tout polynôme A non nul, il existe Q, R ? K[X] tels que B = AQ + R avec deg(R) < deg(A).
. Soit B un polynôme de degré n.
. Si deg(A) > n = deg(B) alors l'écriture B = A × 0 + B permet de conclure.

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