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Comment Etudier la continuité de f en 0 ?
Solution.
On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et, si elle existe, la calculer ; — vérifier si la valeur de la limite est égal à f(x0).
Comment on calcule le résidu ?
Écrivant f=u/v, f = u / v , le résidu de f f en iπ i π vaut u(iπ)/v′(iπ)=−eiaπ. u ( i π ) / v ′ ( i π ) = − e i a π .
Comment montrer la continuité d'une fonction sur R ?
Lorsque a ∈ Z, on a si x → a+, f(x) → a = f(a) et si x → a−, f(x) = a − 1+(a − (a − 1))2 = a = f(a).
Donc f est continue sur R.
Théorème 1 : Soit f : [a, b] −→ R, continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et telle que f(a) = f(b).
Alors il existe un réel c ∈ ]a, b[ tel que f′(c)=0. démonstration : Puisque f est continue, il existe m, M ∈ R tels que f([a, b]) = [m, M].

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