théorème de bezout exemple

PDF	PGCD 15 juil 2016 · L'ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément D appelé plus grand commun diviseur On note : D = pgcd(a b)

Comment démontrer le théorème de Bezout ?
Soient deux nombres naturels a et b.
Si D est leur PGDC (Plus Grand Commun Diviseur) alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = D.
Exemple: Soit l'équation 15x + 9y = 3. 3 est le PGCD de 15 et 9 ; donc on peut trouver un couple d'entiers (x ; y) solution de l'équation.
Comment trouver U et V Bézout ?
Si \\mathrm{pgcd}(a,b) = 1, par l'identité de Bézout, il existe deux entiers u et v tels que 1 = ua + vb.
Réciproquement, si on a une relation de la forme 1 = ua + vb, alors un diviseur commun à a et à b, divise ua + vb, divise donc 1, et vaut alors \\pm 1.
On a bien montré que les entiers a et b sont premiers entre eux.
Comment calculer les coefficients de Bézout ?
Pour déterminer les coefficients de Bézout, on calcule le PGCD des 2 nombres avec l'algorithme d'Euclide et on remonte les calculs en exprimant chaque reste en fonction des restes précédents.
Soient a > b deux nombres naturels.
Si b = 0 alors pgcd(a, b) = 0.
Si b = 0 il existe nombres naturels q, r tels que a = qb + r et 0 ≤ r < b et pgcd(a, b) = pgcd(b, r), par lemme 7.2.

Exemple : On a donc PGCD (12 ; 63) = 3. Propriété 1 : Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Si b divise a alors D (a ; b) = D (b). On a donc PGCD (a ; b)= b.

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Comment appliquer le théorème de Bezout ?
Le théorème de Bézout donne une réciproque à cette propriété lorsque d=1 , c'est-à-dire que les entiers sont premiers entre eux. Théorème de Bézout : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe des entiers relatifs u et v tels que au+bv=1 a u + b v = 1 .
Quand utiliser le théorème de Bezout ?
Si a et b sont premiers entre eux, alors il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. En effet, si a et b sont premiers entre eux alors leur PGCD est 1 et d'après l'égalité de Bézout, il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.

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Par exemple, l'équation 21x+2y=1 21 x + 2 y = 1 admet au moins un couple de solutions puisque 21 et 2 sont premiers entre eux (théorème de Bézout).

Comment résoudre une équation de Bezout ?

Théorème de Bézout : Soient a et b deux entiers naturels non nuls. a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
. Remarque : on admettra pour cette démonstration que toute partie non vide de N admet un plus petit élément.

Comment déterminer les coefficient de Bezout ?

Le théorème de Bachet-Bézout affirme que cette équation admet toujours au moins une solution.
. La première étape de la résolution consiste à trouver une solution particulière, c'est-à-dire un couple d'entiers relatifs (x₀, y₀) vérifiant : ax₀ + by₀ = 1.
. L'algorithme d'Euclide étendu permet d'en exhiber une.

Comment réussir à remonter dans l'algorithme d'Euclide ?

Pour déterminer les coefficients de Bézout, on calcule le PGCD des 2 nombres avec l'algorithme d'Euclide et on remonte les calculs en exprimant chaque reste en fonction des restes précédents.

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