théorème de dirichlet serie de fourier

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Quelles sont les conditions de Dirichlet ?
Un signal périodique x(t) = x(t + T) réel vérifie les conditions de Dirichlet, si et seulement si :x(t) est intégrable en module :x(t) a des variations limitées et bornées sur une période T : donc min(x), max(x) et le nombre de discontinuités de x(t) sont finis.
Théorème sur la convergence normale d'une série de Fourier : Soit f : R → C une fonction périodique de période T, continue et lisse par morceaux (C1 par morceaux). =⇒ Alors pour tout t ∈ R, la série de Fourier SN f(t) converge normalement (et donc uniformément), vers f(t) quand N → +∞.

Le théorème de Dirichlet est une condition suffisante qui assure la convergence de la série de Fourier de f vers f. f . Théorème : Soit f une fonction continue, C1 par morceaux, 2π -périodique. Alors la série de Fourier de f converge normalement vers f .

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Comment montrer qu'une fonction est développable en série de Fourier ?
La fonction est développable en série de Fourier si sa série de Fourier converge simplement vers . Toute fonction -périodique, continue sur sur et de classe par morceaux est développable en série de Fourier.
Comment vérifier les conditions de Dirichlet ?
Il suffit en réalité d'avoir des informations uniquement autour de x , par exemple que f admet des limites à droite et à gauche en x et qu'on peut trouver ?>0 tel que les intégrales ??0f(x+t)?f(x+0)tdt et ??0f(x?t)?f(x?0)tdt ? 0 ? f ( x + t ) ? f ( x + 0 ) t d t et ? 0 ? f ( x ? t ) ? f ( x ? 0 ) t d t
Comment montrer qu'une série de Fourier converge ?
Théorème sur la convergence normale d'une série de Fourier : Soit f : R ? C une fonction périodique de période T, continue et lisse par morceaux (C1 par morceaux). =? Alors pour tout t ? R, la série de Fourier SN f(t) converge normalement (et donc uniformément), vers f(t) quand N ? +?.
Le calcul des coefficients de Fourier se fait par intégration par parties. Appliquer ensuite le théorème de Dirichlet, et trouver les deux premières sommes en prenant des valeurs particulières pour $x$. Pour la troisième somme, on pourra appliquer le théorème de Parseval.

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