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Comment démontrer l'irrationalité de racine de 2 ?
Par hypothèse, on a : ∃(p, q) ∈ N × N∗/ √ 2 = p q avec p q fraction irréductible.
En élevant cette égalité au carré, on obtient 2 = p2 q2 , soit encore : 2q2 = p2.
Ainsi, comme q2 est un entier, on en déduit que 2q2 est un entier pair et 1 Page 2 on peut conclure : p2est nécessairement un entier pair.
Pourquoi √ 2 est irrationnel ?
J. -C. , les mathématiciens grecs ont montré que la diagonale d'un carré et son côté étaient incommensurables, ce qui revient à dire que √2 est un irrationnel.
Comment démontrer l'irrationalité d'un nombre ?
La démonstration de l'irrationalité de peut s'effectuer aujourd'hui par l'absurde : Supposons que soit rationnel, alors il existe deux entiers p et q tel que p/q soit irréductible et = p/q.
Donc 2 = p²/q² soit p² = 2q². - p² est ainsi un nombre pair donc p l'est également.
Preuve de l'irrationalité
Supposons que √5 est rationnel et écrivons-le sous la forme d'une fraction irréductible m/n (c'est-à-dire que m et n sont premiers entre eux : PGCD(m, n) = 1).
L'hypothèse √5 = m/n conduit à 5n² = m².
Ainsi, 5 divise m², donc divise m d'après le lemme d'Euclide.

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Comment prouver l'irrationalité de racine de 2 ?

Il n'existe pas de rationnel positif dont le carré est 2, la racine carrée de 2 est irrationnelle.
. Supposons qu'il existe un élément x = p/q de ⁺ ( ensemble des rationnels positifs ) tel que x² = 2, avec p et q premiers entre eux ( c'est à dire que p/q est une fraction irréductible ) .

Est-ce que la racine de 2 est rationnel ?

La réponse est non : Théorème. — La racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel.

Quelle est la valeur de racine de 2 ?

les 11 premi`eres décimales de ? 2 : ? 2=1,414 213 562 37 et, finalement, ? 2=1,414 213 562 373 095 048 802

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