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Comment montrer qu'un intervalle est ouvert ?
Définition 1 Une partie U ⊂ R est dite ouverte si pour tout x ∈ U, il existe ϵ > 0 tel que ]x − ϵ, x + ϵ[⊂ U.
Une partie F ⊂ R est dite fermée si son complémentaire U = R \\ F est ouvert.
Exemple 2 Un intervalle ouvert, comme ]a, b[, ]a, +∞[, ] − ∞,b[, ] − ∞, +∞[, est ouvert.
Est-ce que R est un espace de Banach ?
Un espace vectoriel normé qui est complet s'appelle espace de Banach.
Par exemple, (R,⋅) , (C,⋅) sont complets.
Comment montrer qu'un ensemble est une topologie ?
La topologie discrète sur un ensemble X est celle pour laquelle T = P(X), l'ensemble des parties de X.
Autrement dit : toutes les parties sont ouvertes, ou encore : tous les points sont isolés.
C'est la topologie la plus fine sur X.
Dans un espace vectoriel normé, un sous-espace vectoriel de dimension finie est fermé.
Preuve.
On utilise le crit`ere séquentiel (de fermeture) : on se donne (xn)n⩾0 une suite d'éléments de F, admettant une limite dans E, disons x ; il s'agit de voir qu'en fait x ∈ F.

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