Chapitre IV Bases et dimension d 'un espace vectoriel
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Chapitre IV Bases et dimension d’un espace vectoriel
Chapitre IV Bases et dimension d’un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d’un espace vectoriel général Dans ce chapitre désigne un ????-ev avec ????= ℝℂ ou un corps commutatif quelconque I – Familles libres génératrices bases 1 Définitions |
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CHAPITRE 4 ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE
bases quelconques d’un espace vectoriel (ayant au moins une base de cardinal fini) ont le mˆeme nombre d’´el´ements Ainsi a chaque espace vectoriel on peut associer un nombre le nombre de vecteurs dans n’importe laquelle de ses bases March 30 2023 Khalid Koufany |
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Chapitre 4 Espaces vectoriels
Definition 4 3´ SoitV un K-espace vectoriel Une partieW deV s’appelle un sous-espace vectoriel [subspace] de V si W muni des deux lois de composition de V (restreintes a W)` fait deW un K-espace vectoriel Lemme 4 4 Soit V un K-espace vectoriel et W ⊆V W 6= 0/ Alors W est un sous-espace vectoriel deV si et seulement si (i) v+w∈W pour |
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Chapitre 4 Espaces vectoriels
Proposition 4 3 1 Si W est un sous-espace d’un espace vectoriel V sur R alors W est un espace vectoriel sur R D´emonstration: Ce que l’on doit d´emontrer ici c’est que lorsqu’on se restreint `a W toutes les propri´et´es des op´erations qui sont vraies dans V restent vraies Pour la plupart c’est une ´evidence |
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Exo7
Dans ce chapitre K désigne un corps Dans la plupart des exemples ce sera le corps des réels R |
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Espaces vectoriels (et affines) Chap 04 : cours complet
Chapitre 04 – Espaces vectoriels (et affines) – Cou rs complet - 17 - Théorème 7 1 : lien entre les coordonnées d’un même vecteur dans différentes bases Soit (E+ ) un K-espace vectoriel de dimension finie n muni de deux bases : B = (ei) et : B’ = (e’i) et soit P la matrice de passage de B à B’ |
Comment calculer la base d'un sous-espace vectoriel ?
— Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Tout sous-espace vectoriel F de E admet au moins un suppl ́ementaire. D ́emonstration. — Supposons que dim E = n et fixons une base B0 = (ei)1≤i≤n de E. Soit F un sous-espace vectoriel de E non nul et tel que F 6= E. Soit (vi)1≤i≤p une base de F .
Comment calculer la dimension finie d'un espace vectoriel ?
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie. Alors E admet une base comportant un nombre fini de vecteurs, et toutes les bases de E comportent le même nombre fini de vecteurs. Soit la famille ne comporte que le vecteur nul, et alors : " x ̨ E, x = 0. Dans ce cas, et par convention, on a : E = Vect( ̆).
Comment calculer l’application d’un espace vectoriel ?
Soient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels, E de dimension finie n. Soit : B = (e1, ..., e n), une base de E, et (a1, ..., a n) une famille de vecteurs de F. Alors : $ ! u ̨ L(E,F), " 1 £ i £ n, u(ei) = ai. Donc si u existe, ça ne peut être que l’application que l’on vient de décrire. Réciproquement, soit u définie telle qu’au dessus.
Quel est le nombre de vecteurs associé à chaque espace vectoriel ?
Dans ce chapitre nous allons montrer que deux bases quelconques d’un espace vectoriel (ayant au moins une base de cardinal fini) ont le mˆeme nombre d’ ́el ́ements. Ainsi, `a chaque espace vectoriel, on peut associer un nombre, le nombre de vecteurs dans n’importe laquelle de ses bases. 1. Espaces vectoriels de dimension finie D ́efinition 1.1.
1. Espace vectoriel (début)
Dans ce chapitre, K désigne un corps. Dans la plupart des exemples, ce sera le corps des réels R. exo7.emath.fr
1.1. Définition d’un espace vectoriel
Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs, de sorte que l’on puisse additionner (et soustraire) deux vecteurs u, v pour en former un troisième u v (ou u v) et aussi afin que l’on puisse multiplier chaque vecteur u d’un facteur pour obtenir un vecteur u. Voici la définition formelle : exo7.emath.fr
Définition 1.
Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : • d’une loi de composition interne, c’est-à-dire d’une application de E exo7.emath.fr
2 K, u 2 E)
Nous reviendrons en détail sur chacune de ces propriétés juste après des exemples. exo7.emath.fr
2.1. Détail des axiomes de la définition
Revenons en détail sur la définition d’un espace vectoriel. Soit donc E un K-espace vectoriel. Les éléments de E seront appelés des vecteurs. Les éléments de K seront appelés des scalaires. exo7.emath.fr
Loi interne.
La loi de composition interne dans E, c’est une application de E dans E : E E u, v 7 u v ( ) + C’est-à-dire qu’à partir de deux vecteurs u et v de E, on nous en fournit un troisième, qui sera noté u v. + La loi de composition interne dans E et la somme dans K seront toutes les deux notées , mais le contexte permettra + de déterminer aisément de
Loi externe.
La loi de composition externe, c’est une application de K dans E : E exo7.emath.fr
u u u.
( + ) = + La loi interne et la loi externe doivent donc satisfaire ces huit axiomes pour que E, , soit un espace vectoriel sur K. ( + ) exo7.emath.fr
(b) f x g x h x g x h
( ) = ( ) + ( ) = ( ) x . Par somme et différence de (a) et (b), on tire que ( ) exo7.emath.fr
6.1. Définition
Nous avons déjà rencontré la notion d’application linéaire dans le cas f : Rp Rn (voir le chapitre « L’espace vectoriel Rn »). Cette notion se généralise à des espaces vectoriels quelconques. exo7.emath.fr
Vocabulaire.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Une application linéaire de E dans F est aussi appelée morphisme ou homomorphisme d’espaces vectoriels. L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L E, F ( ) . Une application linéaire de E dans E est appelée endomorphisme de E. L’ensemble des endomorphismes de E est noté L E . ( ) exo7.emath.fr
7.1. Exemples géométriques
sont linéaires. Caractériser géométriquement ces applications exo7.emath.fr
Symétrie centrale.
Soient E un K-espace vectoriel. On définit l’application f par : exo7.emath.fr
X P X .
( ) Étudions d’abord le noyau de f : soit P X ( ) = exo7.emath.fr
8.3. L’espace vectoriel L (E, F )
Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Remarquons tout d’abord que, similairement à l’exemple 4, l’ensemble des applications de E dans F, noté F E, F ( ) , peut être muni d’une loi de composition interne et d’une loi de composition + externe, définies de la façon suivante : f, g étant deux éléments de F E, F ( ) , et étant un élément de K, pour t
L’ensemble des applications linéaires entre deux K-espaces vectoriels E et F, noté L E, F
( ) , muni des deux lois définies précédemment, est un K-espace vectoriel. exo7.emath.fr
Démonstration. L’ensemble L E, F
( ) est inclus dans le K-espace vectoriel F E, F ( ) . Pour montrer que L E, F ( ) est un K-espace vectoriel, il suffit donc de montrer que L E, F ( ) est un sous-espace vectoriel de F E, F ( ) : Tout d’abord, l’application nulle appartient à Soient f, g 2 L E, F , et montrons que u et v de E et pour tous scalaires , ( ) E, F . ( ) g est linéaire
8.4. Composition et inverse d’applications linéaires
Proposition 11 (Composée de deux applications linéaires). Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels, f une application linéaire de E dans F et g une application linéaire de F dans G. Alors g f est une application linéaire de E dans G. Remarque. En particulier, le composé de deux endomorphismes de E est un endomorphisme de E. Autrement dit, est une
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Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
Problème : Construire des bases dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie. Définition : On dit qu'un espace vectoriel est de dimension finie si |
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Chapitre 4 Espaces vectoriels
Définition 4.5.3. La dimension d'un espace vectoriel V sur R dénotée dimV |
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Cours S2 PeiP chap. 4
3 Bases et dimension d'un espace vectoriel. L'objectif du chapitre est de comprendre comment associer à tout sev E de Rn des systèmes de coordonnées. |
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Chapitre 4. Base et génératrice
L'ensemble des solutions de l'équation x - y - 2z = 0 forme-il un sous espace vectoriel? Si oui en donner une base et determiner sa dimension. |
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ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
Bases et dimension d'un espace vectoriel . CHAPITRE 0. ... iv) la multiplication est distributive par rapport à l'addition i.e. |
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Chapitre VI Applications linéaires
( ???? ) le sous espace vectoriel de engendré par l'image d'une base de . En particulier est de dimension finie inférieure ou égale à la |
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4 Espaces vectoriels
que toute base de E a le même nombre d'éléments appelé la dimension de E. Soit E est un K-espace vectoriel muni d'une base considérons une famille de ... |
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Définition 2.17 Soit q une forme quadratique sur un espace vectoriel E de dimension finie n et soit b sa forme polaire. Une base (e1 |
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Espaces vectoriels
3 Dimension d'un espace vectoriel. Familles libres liées |
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Algèbre - Cours de première année
La première année d'études supérieures pose les bases des mathématiques. Pourquoi se lancer dans une Dimension d'un espace vectoriel . |
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Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
Problème : Construire des bases dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie Définition : On dit qu'un espace vectoriel est de dimension finie si |
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Dimension dun espace vectoriel - Maths-francefr
On va dire plus loin dans le chapitre que la dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteurs d'une base de cet espace Mais pour énoncer une telle |
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STRUCTURE DESPACE VECTORIEL - Christophe Bertault
Les éléments d'un espace vectoriel E sont appelés des vecteurs est qualifié de corps de base pour E Nous avons en effet démontré au chapitre « Polynômes » que pour tous P 3 ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE |
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Chapitre 1 Espaces vectoriels
Exercice : Montrer que {Xm + 2mX; m ≤ n} est une base de Rn[X] Théor`eme Soit E un espace vectoriel de dimension finie n Soit F un sous- espace vectoriel de |
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Chapitre V Chapitre V : Bases et dimension
On ne va démontrer l'existence de base que pour certains espaces vectoriels particuliers : ceux de dimension finie L'espace vectoriel V sur K est appelé de |
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Chapitre 16 Espaces vectoriels de dimension finie - Alain Camanes
Théorème 2 (Extraction d'une base) Soient E un espace vectoriel différent de { 0E} de dimension finie et G une famille génératrice finie de E Alors, |
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Chapitre 4 Base et génératrice
Chapitre 4 Base et Une famille de vecteurs en dimension n est un système générateur (ou une Un sous espace vectoriel de Rn est un sous ensemble E |
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CHAPITRE III Espaces vectoriels - Lycée Descartes
est un K− espace vectoriel ou espace vectoriel sur K ssi : Théorème de la base incomplète : Soit E un ev de dimension n, L = (li)1≤i≤p une famille libre de |
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Chapitre 14 : Espaces vectoriels - Normale Sup
17 mar 2014 · les deux suivants consacrés à l'algèbre linéaire), un espace vectoriel pouvant très bien contenir, par base, supplémentaires, dimension) |
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Chapitre 2: Espaces vectoriels
Exercice 2 24 : Remarques : Dans un espace vectoriel de dimension n, a) Toute famille libre de n vecteurs est une base |
