Formes quadratiques
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UFR MATH EMATIQUES
Exemple - Soient f et gdeux formes lin eaires sur E L’application ’de E Edans R d e nie par ’(x;y) = f(x)g(y) est une forme bilin eaire d e nie sur E Proposition 2 { L’ensemble des formes bilin eaires (respectivement bilin eaires sym etriques) sur un R-espace vectoriel Eest un R-espace vectoriel 1 2 Formes quadratiques |
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Exo7
Formes quadratiques Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur www maths-france * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exercice 1 ** Rang et signature des formes quadratiques suivantes : 1 Q((x;y;z))=2x2 2y2 6z2 +3xy 4xz+7yz 2 Q((x;y;z))=3x2 +3y2 |
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FORMES QUADRATIQUES
Soit b une forme bilinéaire sur E L’application et appelée forme quadratique associée Remarque : l’ensemble des formes quadratiques sur E est un espace vectoriel sur Remarque : La forme quadratique q associée à b est nulle ssi b est alternée est linéaire Son noyau est l’espace des formes bilinéaires alternées |
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TD7 : formes quadratiques
Solution de l’exercice 1 On applique l’algorithme de Gauss pour diagonaliser la plupart de ces formes quadratiques On obtient : a) f(x;y;z) = x+ z 2 2 2 y z 4 2 z2 8 Donc sign(f) = (1;2) et rang(f) = 3 b) f(x;y;z) = 2 x+ 3 4 y z 2 25 8 y 8 5 z 2 Donc sign(f) = (1;1) et rang(f) = 2 c) f(x;y;z) = 3 x+ y 3 z 3 2 + 8 3 y 2 2 2z2 Donc |
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Formes quadratiques
2 = e2 et on considère les formes quadratiques q= x2 1 x22 et q0= x 1x 2 Alors l’unique application linéaire utelle que u(e 1) = e 1 + e 2 et u(e 2) = e 1 e 2 vérifie q0 u= q Comme uest bijective ces deux espaces quadratiques sont isomorphes 2 |
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VI Formes quadratiques
Formes quadratiques 7 / 67 Mise en pratique (Exemple 1 : forme quadratique avec carr es) Soit R3 muni de la base canonique B= (e 1;e 2;e 3) et consid erons la forme |
Est-ce que les deux formes quadratiques sont equivalentes sur Fq ?
D'ou le resultat. c) Les deux formes quadratiques mentionnees sont de rang p et de discriminant 1, donc elles sont equivalentes sur Fq (voir le theoreme de classi cation des formes quadratiques sur un corps ni). D'ou le resultat.
Qu'est-ce que la forme quadratique associée ?
L’application et appelée forme quadratique associée. La forme quadratique q associée à b est nulle ssi b est alternée. est linéaire. Son noyau est l’espace des formes bilinéaires alternées. Toute forme quadratique q sur E est associée à une et une seule forme bilinéaire symétrique. On l’appelle a forme polaire et on la note .
Quelle est la différence entre une forme quadratique et une forme linéaire ?
Les formes quadratiques sur K sont les applications de la forme x 7! x2, avec 2 K ; on note (K; ) l’espace quadratique associé à la forme quadratique x 7! x2. Les applications linéaires sont les applications de la forme x 7!ax. Ainsi, un morphisme (K; ) ! (K; ) est une homothétie de rapport a, a vérifiant la relation a2 = .
Quelle est la forme quadratique de Q ?
Les trois valeurs propres de A sont strictement positives et donc la forme quadratique Q est de rang 3 et de signature (3;0). est définie positive. 3.
DEFINITION 13 : FORME QUADRATIQUE
Soit b une forme bilinéaire sur E. L’application et appelée forme quadratique associée. Remarque : l’ensemble des formes quadratiques sur E est un espace vectoriel sur Remarque : La forme quadratique q associée à b est nulle ssi b est alternée. est linéaire. Son noyau est l’espace des formes bilinéaires alternées. licence-math.univ-lyon1.fr
PROPOSITION 13 :
Toute forme quadratique q sur E est associée à une et une seule forme bilinéaire symétrique. On l’appelle a forme polaire et on la note . d’où Q(E)= dim est un isomorphisme (car inj et de même dimension) Pour calculer la partie symétrique de b licence-math.univ-lyon1.fr
PROPOSITION 14 : FORME DE POLARISATION
Soit q une forme quadratique de forme polaire . Alors est donnée par . licence-math.univ-lyon1.fr
PREUVE:
Il faut montrer que q lui est associée. est bilinéaire symétrique licence-math.univ-lyon1.fr
DEFINITION 14 : REPRESENTATION MATRICIELLE
On appelle matrice associée à q dans B la matrice de sa forme polaire licence-math.univ-lyon1.fr
PROPOSITION 15 :
Soit q forme quadratique représentée par A dans B. Soit B’ une autre base et A’ la matrice de q dans B’ et P la matrice de passage de B à B’. Alors et licence-math.univ-lyon1.fr
DEFINITION 16 : MORPHISME
et espaces quadratiques : Un morphisme d’espaces quadratiques : Et Un morphisme injectif est une isometrie Un morphisme bijectif est un isomorphisme Morphisme : diagramme commutatif E u F q q’ K Remarque : Les isomorphismes d’espaces quadratiques donnent une relation d’équivalence sur l’ensemble des formes quadratiques , si et ) sont isomorphes alo
PROPOSITION 16 :
et espaces quadratiques. , formes polaires associées à suivantes sont équivalentes : alors les assertions licence-math.univ-lyon1.fr
PREUVE:
linéaire bijection tel que donc ( ) donc On considère l’application tel que ( ) C’est une forme bilinéaire Elle est symétrique Sa forme quadratique associée est ( ) Donc il s’agit de (par unicité de sa forme polaire) licence-math.univ-lyon1.fr
CORROLAIRE 17 :
q,q’ 2 formes quadratiques sur des espaces de dimensions finies sont équivalentes : Leurs matrices associées sont congruentes Dans les bonnes bases elle ont la même matrice et même polynôme Domaine, dimension, rang, noyau dim finie q forme quadratique, b forme polaire licence-math.univ-lyon1.fr
DEFINITION 17 : DOMAINE
est représenté par q si On appelle domaine de q l’ensemble On dit que q est universelle si tel que { Exemple : . } { } est universelle , Toute forme quadratique non nulle sur est universelle. Soit Soit . Soit et il existe tel que donc tel que . q forme quadratique sur qui n’est pas négative ni positive alors elle est universelle licence-math.univ-lyon1.fr
PROPOSITION 19 :
Pour tout Le rang de q, noté le noyau de q est le noyau de est Exemple : ) ( ) Remarque : Si alors . licence-math.univ-lyon1.fr
DEFINITION 20 : FORME QUADRATIQUE REGULIERE OU DEGENEREE
On dit que q est régulière (ou non dégénérée) Si { }. Sinon on dit qu’elle est dégénérée. Ex : si En particulier , ( ) ( ) ( ) donc q est régulière. licence-math.univ-lyon1.fr
DEFINITION 21 : ISOTROPE
est isotrope si S’il existe un vecteur isotrope non nul, on dit que q est isotrope. licence-math.univ-lyon1.fr
Exemple :
les vecteurs isotropes sont les éléments de Remarque : Si X est isotrope alors tous les , { } { } sont isotropes. licence-math.univ-lyon1.fr
Exemple :
) Remarque : Co(q) n’est pas en général un sous-espace vectoriel de E ( ) { } par contre ( d’où licence-math.univ-lyon1.fr
DEFINITION 24 : DETERMINANT D’UNE FORME QUADRATIQUE
{ } Cette application est bien définie On appelle det(q) l’image de q par cette application c’est le déterminant de q. licence-math.univ-lyon1.fr
DEFINITION 25 : AUTOMORPHISME
Un automorphisme orthogonal de est un isomorphisme u de dans L’ensemble des automorphismes orthogonaux est noté licence-math.univ-lyon1.fr
PROPOSITION 21 :
L’ensemble O(q) est un sous-groupe de GL(E) exemple : non isotrope C’est la réflexion orthogonal de E associée à a. C’est un automorphisme orthogonal de E. : est la symétrie de E par rapport à parallèlement à Vect(a) licence-math.univ-lyon1.fr
On note { } C’est le groupe special orthogonal
On le note aussi souvent . On note son complémentaire . licence-math.univ-lyon1.fr
DEFINITION 28 : BASE ORTHONORMEE
Une base est orthonormée si elle est orthogonale et , licence-math.univ-lyon1.fr
LEMME 23:
Si famille orthogonale de vecteurs non isotropes. Alors elle est libre. licence-math.univ-lyon1.fr
PREUVE:
(∑ ) ∑ Donc et donc la famille est libre. Existence de bases orthogonales. licence-math.univ-lyon1.fr
THEOREME 24:
Tout espace quadratique de dimension finie admet une base orthogonale. CONSEQUENCE : Il existe une matrice diagonale qui représente q. q représenté par un polynôme , . base de et des tel que licence-math.univ-lyon1.fr
PREUVE:
Par récurrence sur Si n=1, il n’y a rien à démontrer Supposons que c’est vrai Soit Si de dimension n. toutes les bases sont orthogonales Sinon, tq Soit { } : linéaire. et Si mais donc On applique l’hypothèse de récurrence à H. Soit base orthogonale de H, on a donc est une base orthogonal de E. licence-math.univ-lyon1.fr
COROLLAIRE 25:
Toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale licence-math.univ-lyon1.fr
DEFINITION 30 : MATRICE SYMETRIQUE
base dans laquelle q est représentée par ( ). F= car représentée par la matrice A. G= car représentée par la matrice( ). On en déduit que Soit ss-ev de E tq et Regardons { } alors ⏟ Donc On a de même . Rmq : 2 formes quadratiques réelles de même dimension ayant la même signature sont équivalentes. équivalentes même signature. Rmq : 2 f
Exercice corrigé 1 sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques
Cours Formes quadratiques : Forme quadratique et sa forme polaire
Cours Formes quadratiques : Base q-orthogonale
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ISOTROPIE DE CERTAINES FORMES QUADRATIQUES DE
donné une forme quadratique anisotrope sur F un problème important est de caractériser les formes quadratiques telles queqdevienne isotrope sur le corps. |
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