Droite d'Euler 1ère Mathématiques

Comment trouver la droite d'Euler ?
Euler établit en 1765 que dans un triangle non équilatéral (ABC), l'orthocentre H, le centre de gravité (ou isobarycentre) G et le centre du cercle circonscrit O sont alignés, et détermine les relations de proportionnalité entre les distances : HO = 32HG et GO = 12HG.
Quelle est l'équation d'une droite ?
Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.
Ici b = 0, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 0.
Quel est le vecteur directeur ?
On appelle vecteur directeur de (D) tout vecteur non nul colinéaire à .
Autrement dit, le vecteur donne la direction de la droite (D).
Remarques : Tous les vecteurs colinéaires non nuls à sont aussi vecteurs directeurs de (D) : il existe donc une infinité de vecteurs directeurs d'une droite, tous colinéaires entre eux.
La célèbre droite d'Euler (alignée sur le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre d'un triangle) était un résultat déjà connu de Robert Simson (1687 ; 1768), mais le nom de ce dernier désigne une autre droite en relation avec le triangle.

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Définition. En géométrie, la droite d'Euler d'un triangle est la droite passant par l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit et le centre de gravité. Dans un triangle quelconque, l'ensemble de ces intersections permet de représenter une droite.

Comment calculer la droite d'Euler ?

Euler établit en 1765 que dans un triangle non équilatéral (ABC), l'orthocentre H, le centre de gravité (ou isobarycentre) G et le centre du cercle circonscrit O sont alignés, et détermine les relations de proportionnalité entre les distances : HO = 3/2HG et GO = 1/2HG.

Qui a découvert la droite d'Euler ?

Cette découverte, connue avant Leonhard Euler (1707 ; 1783), est en fait due au mathématicien écossais Robert Simson (1687 ; 1768) à qui on n'a pas attribué le nom car il existe dejà une droite de Simson.

Comment démontrer qu'un point est l orthocentre ?

Le point de la hauteur située sur droite (BC) est le pied de la hauteur.
. On définit de même les hauteurs issues de B, et de C.
. Alors les 3 hauteurs du triangle se coupent en un même point qui est l'orthocentre du triangle.

Comment trouver le centre du cercle d'Euler ?

De façon plus générale, par construction, il est le centre du cercle circonscrit de tout triangle dont les trois sommets sont sur le cercle d'Euler. Le centre du cercle d'Euler d'un triangle est le centre de gravité du quadruplet de points formé par les trois sommets du triangle et son orthocentre.

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