déterminant de deux vecteurs dans l'espace

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Comment déterminer le déterminant de deux vecteurs ?
Déterminant de deux vecteurs
Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′).
Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′.
Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul.
Comment trouver les coordonnées d'un vecteur dans l'espace ?
Les coordonnées d'un vecteur v de notre espace vectoriel favori R2 dans une base (i,j) sont deux nombres x et y qui vérifient l'équation caractéristique des coordonnées : v = xi + yj.
Comment démontrer que 2 vecteurs sont colinéaires sans coordonnées ?
On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, en multipliant les composantes de l'un des vecteurs par un scalaire k (constante), on obtient les composantes de l'autre vecteur.
Donc, si le vecteur →u est colinéaire au vecteur →v , alors il existe un scalaire k tel que →u=k→v u → = k v → .
Définition : Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une norme (longueur).
Remarque : Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane : Relation de Chasles, propriétés en rapport avec la colinéarité, …

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Comment représenter un vecteur dans l'espace ?

On utilise parfois la notation abrégée pour représenter le vecteur U.
. On constate que cette façon de représenter un vecteur dans l'espace n'est qu'une extension naturelle de la section précédente où l'on travaillait dans le plan.
. On n'a qu'à adapter les formules déjà vues pour tenir compte de la dimension supplémentaire.

2 3 k Comme F= 50 et que Fa la même direction que e, alors F = 50e= 100 3 i+ 50 3 j? 100 3 k Exemple B.15Soit les 3 points suivants dans l'espace : A = (4 , 3 , 2) B= (8 , 8 , 4) C= (6 , 1 , –2) Quel est l'angle entre les droites ABet AC? À l'aide du produit scalaire, on peut trouver l'angle entre deux vecteurs.

3 On peut donc exprimer le vecteur Uen composantes selon i, jet k U= u1i+ u2j+ u3k On constate que u1i+ u2jreprésente la projection du vecteur Udans le plan x-y.
. On utilise parfois la notation abrégée pour représenter le vecteur U.