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— La valeur absolue R → R+, x ↦→ x est une norme sur R.
Par conséquent, l'application d : R × R → R+, (x, y) ↦→ y − x est une distance sur R. 1 + x2 2, est bien une norme.

Comment montrer qu'une norme est bien définie ?

Pour démontrer que N est une norme, on peut : vérifier la définition d'une norme.
Deux points peuvent poser plus particulièrement problème : la vérification de l'inégalité triangulaire, notamment dans le cas où la norme est définie par un sup.

Comment vérifier qu'une application est une norme ?

Une application ∥⋅∥:E→R+ ‖ ⋅ ‖ : E → R + est appelée une norme si elle vérifie les trois propriétés suivantes : Pour tout x∈E x ∈ E , ∥x∥=0⟺x=0 ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0 .

Comment démontrer que deux normés sont équivalentes ?

On dit que deux normes N1 et N2 sont équivalentes sur un ev E s'il existe deux constantes C1,C2 > 0 telles que ∀x ∈ E, C1N1(x) ≤ N2(x) ≤ C2N1(x).
Théor`eme 1 Soit E un espace vectoriel sur R ou C de dimension finie.
Alors toutes les normes sur E sont équivalentes.

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