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Comment démontrer qu'un ensemble est dénombrable ?

On dit qu'un ensemble X est dénombrable s'il est fini ou s'il est en bijection avec N.
. Exemple : N ? {0}, 2N, Z sont dénombrables. (1) ?0(n) = n + 1 réalise une bijection de N sur N ? {0}.

Est-ce que l'ensemble Q est dénombrable ?

L'ensemble Q des nombres rationnels est dénombrable.
. En effet, un rationnel est représenté par une fraction, c'est-à-dire un couple constitué d'un entier relatif et d'un entier naturel non nul.
. En composant comme il faut les bijections établies précédemment, on obtient une bijection de N dans Z × N^?.

Comment montrer que R n'est pas dénombrable ?

Pour démontrer que ? est non dénombrable, il suffit de démontrer la non-dénombrabilité du sous-ensemble [0, 1[ de ?, donc de construire, pour toute partie dénombrable D de [0, 1[, un élément de [0, 1[ n'appartenant pas à D.
. Soit donc une partie dénombrable de [0, 1[ énumérée à l'aide d'une suite r = (r₁, r₂, r₃, … ).

Comment prouver qu'un ensemble est fini ?

En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement s'il existe un entier n et une bijection de E sur l'ensemble des entiers naturels strictement plus petits que n, en particulier, si n = 0, E est l'ensemble vide. qui est donc bien fini.

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