ensemble non dénombrable PDF Cours,Exercices ,Examens

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Comment montrer qu'un ensemble n'est pas dénombrable ?
Selon la première, un ensemble E est dit dénombrable quand il existe une bijection entre l'ensemble N des entiers naturels et E (on dit qu'il est équipotent à l'ensemble N des entiers naturels).
C'est la définition originale de Cantor.
Pourquoi l'intervalle 0 1 n'est pas dénombrable ?
Alors x est bien dans [0,1[, et il est différent de tous les xn puisque son n -ème chiffre après la virgule est différent de xn : il y a une contradiction avec le fait que [0,1[={xn: n≥1} [ 0 , 1 [ = { x n : n ≥ 1 } et donc [0,1[ n'est pas dénombrable.
Comment savoir si un ensemble est dénombrable ?
On dit d'un ensemble qu'il est dénombrable s'il est en bijection avec une partie de N.
En particulier, un ensemble fini est considéré comme dénombrable.
Certains auteurs dé- finissent les ensembles dénombrables comme étant les ensemble en bijection avec N, auquel cas les ensembles finis ne sont pas dénombrables.
Q est dénombrable.
Tout rationnel s'écrit de façon unique comme fraction réduite x = p/q o`u q ≥ 1 et p ∧ q = 1.
L'application f : Q ↦→ Z × N, f(x) = (p, q) est injective, c'est une bijection sur son image, un sous-ensemble de Z × N.
Comme Z × N est dénombrable (exercice 6), Q est dénombrable._{14 mai 2005}

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