equation diophantienne du second degré PDF Cours,Exercices ,Examens

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Comment résoudre les équations diophantiennes ?
Équation ax + by = c où a et b sont premiers entre eux
Une solution particulière peut être trouvée en multipliant par c une solution particulière de l'équation ax + by = 1.
En effet, si (x₀, y₀) vérifie ax₀ + by₀ = 1 alors ax₀c + by₀c = c ; le couple (x₀c, y₀c) est alors solution de l'équation ax + by = c.
Comment trouver une solution particulière d'une équation diophantienne ?
Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c. a divise bc, donc il existe k entier tel que bc = ka. a et b sont premiers entre eux donc il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1.
D'où c = cau + cbv et bc = ka, donc c = cau + kav = a(cu + kv) ce qui prouve que a divise c.

2/ Equations diophantiennes : le cas c = 0 Si x et y solutions de (E), il existe alors k entier relatif tel que : Réciproque : Soient x et y s'écrivant x = kb et y = -ka. alors : ax = akb et b(-y) = bka.

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Objectif

Résolution d’une équation diophantienne.

Apport Des Tice

Résoudre la question 3 (dans le cas borné, le tableur permet de traiter tous les cas possibles).

Comment résoudre les équations diophantiennes ?

Le théorème de Bachet-Bézout affirme que cette équation admet toujours au moins une solution.
. La première étape de la résolution consiste à trouver une solution particulière, c'est-à-dire un couple d'entiers relatifs (x₀, y₀) vérifiant : ax₀ + by₀ = 1.
. L'algorithme d'Euclide étendu permet d'en exhiber une.

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