application injective et surjective

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Comment montrer qu'une application est bijective PDF ?
1.
L'application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F → E telle que f ◦ g = idF et g ◦ f = idE. 2.
Si f est bijective alors l'application g est unique et elle aussi est bijective.
Comment montrer qu'une application est injective et surjective ?
(i) Il existe une fonction injective F : A → B si et seulement A≤B. (ii) Il existe une fonction surjective F : A → B si et seulement si A≥B. (iii) Il existe une fonction bijective F : A → B si et seulement si A = B.
Comment calculer une application injective ?
Pour démontrer qu'une application f:E→F f : E → F est injective, on peut démontrer :
1que pour tout y∈F y ∈ F , l'équation y=f(x) y = f ( x ) , d'inconnue x∈E x ∈ E , admet au plus une solution;2que pour tous x,x′∈E x , x ′ ∈ E , l'équation f(x)=f(x′) f ( x ) = f ( x ′ ) entraine que x=x′ ;
Reportant ceci dans l'équation x+y=0 x + y = 0 , on obtiendrait x+1x=0⟺x2+1=0, x + 1 x = 0 ⟺ x 2 + 1 = 0 , ce qui est impossible.
Donc f f n'est ni injective, ni surjective.
Soient f et g les applications de N dans N définies par f(x)=2x f ( x ) = 2 x et g(x)={x2 si x est pair0 si x est impair.

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