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Exo7 - Exercices de mathématiques

Décomposer les fractions suivantes en éléments simples surR À l’aide de divisions euclidiennes successives : = F 4X6 2X5+11X4 X3+11X2+2X+3 X(X2+1)3 À l’aide d’une division selon les puissances croissantes : = G 4X4 10X3+8X24X+1 X3(X1)2 Idem pour : X4+2X2+1 =X5 X3 A l’aide du changement d’indéterminéeX=Y+1 : X5+X4+1 =X(X1)4 Indication Corection

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INTRODUCTION À LA DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES

INTRODUCTION À LA DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES Les résultats de ce chapitre seront revus avec davantage de rigueur et de profondeur aux chapitres « Polynômes » et « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles » Nous nous contenterons ici d’une présentation informelle

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Transformée en Z - Université Sorbonne Paris Nord

La décomposition en éléments simples nous donne Z(x) = z z 1 + 2z z 2 (Il su?t en fait de décomposer Z(x) z = z (z 1)(z 2) en éléments simples soit 1 z 1 + 2 z 2 ) Finalement on obtient x n = n1+2 +1 Exercice 4 RésoudreenutilisantlatransforméeenZl’équationrécurrente x n+2 3x n+1 +2x n 0(n) = 0 avecx 0 = x 1 = 0 Solution 4

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2 DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES

EXERCICES Exercice 1 Refaire et terminer les décompositions des fractionsF1F2etF3 Exercice 2 Décomposer en éléments simples les fractions suivantes 1 X(X+1)(X+2) 1 X(X2+1) 1 X3+1 (X2?X)2 2X+1 X2(XX4?1 +1) f) X4 (X+1)(X2?1) Exercice 3(Formule générale) SoitF=P(X)Q(X)irréductibleavec 1 racine simple deQ(et degP

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Qu'est-ce que la décomposition en éléments simples?

Pour le dire vite, on appelledécomposition en éléments simples surRl’opération inverse qui brise une fraction rationnelle « compliquée » à coef?cients réels en une somme de morceaux « simples » eux-mêmes à coef?cients réels.

Comment calculer les coefficients d’une décomposition en éléments simples?

Il est toujours plus facile de calculer les coef?cients d’une décomposition en éléments simples quand la partie entière est nulle. •Calcul dea:On multiplie ÆparX+3 puis on évalue en ?3 :a=9. •Calcul deb:On multiplie ÆparXpuis on passe à la limite en +? : 10 =a+b, doncb=1.

Comment décomposer une fraction rationnelle ?

2 Décomposition en éléments simples dans R(X) On peut décomposer toute fraction rationnelle en somme de fractions élémentaires plus simples, au sens où leurs dénominateurs ne feront apparaître qu'un seul polynôme irréductible chacune. 2.1 Partie entière Théorème 3 Soit F=P Q2K(X).

Quelle est la déompcosition en éléments simples ?

: On appelle ettec criturée la déompcosition en éléments simples (DES) de Fsur R. Elle est donc unique. Remarque. Dans le cas où la fraction rationnelle F=P Q2R(X) admet pour pôle d'ordre mun réel (ce qui signie Q= (X )mQ

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