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Qu'est-ce que la topologie?

La topologie est une th´eorie math´ematique relativement jeune : elle ´emerge (sous le nom d’analysis situs) au d´ebut du vingti`eme si`ecle dans les travaux de Hausdorﬀ et de Tychonoﬀ. Le besoin d’une telle th´eorie s’est d´ej`a fait sentir a la ﬁn du dix-neuvi`eme si`ecle dans les travaux de Riemann et de Hilbert.

Dans la recherche actuelle, la topologie joue un role fondamental aussi bien en Analyse Fonctionnelle qu’en G´eom´etrie Diﬀ´erentielle ou encore en Topologie Alg´ebrique. Ce cours (de 13 s´eances d’une heure et demi) n’est cependant qu’une introduction aux notions de base.

b) Montrer que parmi les cinq espaces topologiques : R1(la droite), R2(le plan), S1(le cercle), S2(la sph`ere), S1×R1(le cylindre), il n’y en a pas deux qui soient hom´eomorphes. On pourra ´etudier cas par cas en raisonnant par l’absurde.

Comme la topologie repose sur relativement peu de connaissances aquises, elle pr´esente l’occasion id´eale pour l’´etudiant de combler d’´eventuelles lacunes en logique ou en th´eorie des ensembles. C’est la raison pour laquelle la plupart des ´enonc´es sont suivis d’une preuve compl`ete.

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