espaces vectoriels de dimension finie exercices corrigés PDF Cours,Exercices ,Examens

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Comment montrer qu'un espace vectoriel est de dimension finie ?

Sur un corps K, un espace vectoriel E est dit de dimension finie s'il admet une base finie.
. Il suffit pour cela qu'il admette une famille génératrice finie.
. Les espaces de dimension finie jouissent de propriétés qui leur sont propres.
. Les bases duales en sont des exemples.

Comment calculer la dimension d'un espace vectoriel ?

Bonne définition La dimension du sous-espace vectoriel des solutions d'un syst`eme d'équations homog`enes est donnée par la formule : Dimension (du sev des solutions) = nombre d'inconnues -rang du syst`eme d'équations.

Comment montrer que des vecteurs forment une base ?

Comme nous avons trois vecteurs et nous souhaitons montrer qu'ils forment un base d'un espace vectoriel de dimension 3, il suffit de montrer que soit la famille est libre, soit elle est génératrice (ces conditions sont équivalentes pour n vecteurs dans un espace vectoriel de dimension n).

Comment montrer qu'une famille de polynômes est libre ?

1 si k = 0 On associe aux fonctions polynomiales x ?? x<k>, les polynômes X<k> de R[X].
. Montrer que (X<0>,X<1>, , X<n>) est une famille libre.
. De plus, deg(X<0>) = 0 car X<0> = 1.
. Ainsi, la famille (X<0>,X<1>, , X<n>) forme une famille de (n + 1) polynômes non nuls échelonnés en degrés.

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