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Comment montrer qu'une fonction continue est mesurable ?
Une fonction f est mesurable si et seulement si f?1(B) = A. En effet, si c'est le cas, on a aussi f?1(Bc) = Ac, et on a déjà vu que f?1(F) = E, f?1(?) = ?.
Comment montrer qu'une fonction est continue par morceaux ?
Une fonction est continue par morceaux sur un intervalle quelconque si et seulement si elle l'est sur tout segment de cet intervalle. Remarques : ? cela ne change rien si l'intervalle est un segment. ? la fonction peut avoir une infinité de discontinuités, mais pas sur un segment.
Quand une fonction est Integrable ?
Critères d'intégrabilité
Si la valeur absolue d'une fonction est intégrable sur un intervalle quelconque alors la fonction elle-même aussi. La réciproque est vraie pour un intervalle fermé mais est fausse pour un intervalle non fermé.
pour démontrer qu'une fonction est borélienne, il suffit de démontrer que l'image réciproque d'un ouvert est un borélien. On peut même simplement demander à ce que l'image réciproque d'un intervalle soit un borélien, ou même simplement que l'image réciproque de tout intervalle ]-oo,a[ est un borélien.

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