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Comment montrer qu'une fonction continue est mesurable ?
Une fonction f est mesurable si et seulement si f?1(B) = A. En effet, si c'est le cas, on a aussi f?1(Bc) = Ac, et on a déjà vu que f?1(F) = E, f?1(?) = ?.
Comment montrer qu'une fonction est continue par morceaux ?
Une fonction est continue par morceaux sur un intervalle quelconque si et seulement si elle l'est sur tout segment de cet intervalle. Remarques : ? cela ne change rien si l'intervalle est un segment. ? la fonction peut avoir une infinité de discontinuités, mais pas sur un segment.
Quand une fonction est Integrable ?
Critères d'intégrabilité
Si la valeur absolue d'une fonction est intégrable sur un intervalle quelconque alors la fonction elle-même aussi. La réciproque est vraie pour un intervalle fermé mais est fausse pour un intervalle non fermé.
Définition 3.3. (Fonction borélienne) Si X1 et X2 sont deux espaces to- pologiques, et si M1 = b(X1) et M2 = b(X2), alors f mesurable de (X1, M1) dans (X2, M2) est dite Borel mesurable, ou borélienne.

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