etudier la convergence d'une suite exercices corrigés PDF Cours,Exercices ,Examens

Comment déterminer la convergence d'une suite ?
Si les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite finie l, alors la suite (vn) est convergente et converge vers cette même limite l. un = l.
Si (un) est une suite bornée et si (vn) est une suite convergente vers 0, alors la suite (unvn) converge vers 0. et la suite (kvn) converge vers 0 par hypothèse.
Comment Etudier la convergence d'une fonction ?
Pour démontrer qu'une suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur I , on peut : étudier les variations de la fonction fn−f f n − f sur I (en la dérivant par exemple) afin de déterminer supx∈Ifn(x)−f(x) sup x ∈ I f n ( x ) − f ( x ) et de démontrer que cette quantité tend vers 0 (voir cet exercice);
Comment étudier la convergence d'une suite géométrique ?
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 = 0. si q > 1, la suite diverge vers +∞ si u0 > 0, vers −∞ si u0 < 0. si q = 1, la suite (un) est constante et converge vers u0. si −1 <q< 1, la suite (un) converge vers 0.
Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction de classe C2.
On suppose qu'il existe l > 0 tel que f (x) ≤ l < 1 pour tout x ∈ [a, b].
Soit u0 ∈ [a, b] et soit un la suite définie par récurrence par un+1 = f(un).
Alors, la suite un converge vers l'unique point fixe α de f.

Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite. Une suite (u

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Comment étudier la convergence d'une suite ?

Etudier la convergence d'une suite, c'est donc chercher sa limite et déterminer en fonction du résultat si la suite converge ou diverge.
. Attention Une suite divergente ne tend pas forcément vers l'infini.
. Exemple : un = (-1)n oscille et n'a de limite ni finie, ni infinie.

Comment Etudier la convergence simple ?

L'étude de la convergence simple revient à étudier la convergence des suites $(f_n(x))_{n\\geq 1}$, lorsque $x\\geq 0$ est fixé.
. Mais $x$ étant fixé, puisque $1+x>0$, on a clairement $f_n(x)$ qui tend vers $1/(1+x)$.

Comment étudier la convergence d'une série numérique ?

Si une série converge, son terme général tend vers 0.
. Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement. (vk+1 ?vk) = vn+1 ?v0 Les suites (sn) et (vn+1) sont de même nature, il en est de même de (vn).

Comment déterminer la vitesse de convergence d'une suite ?

(1) On dit que la suite (un) converge lentement vers l si il existe A, ? > 0 tels que un ? l ? A n? . (2) On dit que la suite (un) converge géométriquement vers l si un ? l est dominée par une suite kn avec 0 <k< 1.

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