Exercices sur les suites de fonctions

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Suites de fonctions

Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions ( ) ∈ℕ sur ℝ + puis sur [????+∞[avec ????>0 Allez à : Correction exercice 4 Exercice 5 Convergence simple vers une fonction discontinue Etudier la convergence éventuellement uniforme des suites de fonctions définies par : a) ( :[01]→ℝ )avec ????=????

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Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette ﬁche sur www maths-france * très facile ** facile *** difﬁculté moyenne **** difﬁcile ***** très difﬁcile I : Incontournable Exercice 1 Etudier les suites de fonctions suivantes (convergence simple convergence uniforme convergence localement

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Exercices sur les suites de fonctions

Exercice 2 Étudier la convergence simple et uniforme des suites de fonctions suivantes : fn(x) = xn sur [0;1[; gn(x) = n2xe nx sur [0;1[; ϕn(x) = x=(x2 +n) sur R; n(x) = xex=n sur [0;1[ Exercice 3 Etudier la convergence uniforme sur R + de la suite (fn) dé nie par fn(x) = min {n; 1 p x}: Exercice 4 Soient E un ensemble (fn) une suite

PDF	Exo7 On prendra garde à ne pas parler de limite d’une suite sans savoir au préalable qu’elle converge ! Vous pouvez utiliser le résultat du cours suivant : Soit (un) une suite convergeant vers la limite ` alors toute sous-suite (vn) de (un) a pour limite `

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TD2

Feuille d’exercices n o2 Suites de fonctions Exercice 1 Convergence simple et uniforme On ´etudie les suites de fonctions r´eelles d´eﬁnies par fn: x ∈R+ −→ x x+n +arctan( x) et gn: x ∈R+ −→ nx 1+ nx pour n ∈N∗ 1 Les suites de fonctions ( fn)n∈N∗ et ( gn)n∈N∗ convergent-elles simplement sur [0 1]? 2

Comment calculer la convergence d’une suite de fonctions ?
Etudier la convergence simple de cette suite de fonctions sur [0, 1]. Pour n ∈ N∗, calculer In = Z fn(t) dt et lim In. En d ́eduire que la suite (fn) convergente sur [0, 1]. Donner une d ́emonstration directe de ce que la suite (fn)n∈N n’est pas uniform ́ement convergente sur [0, 1]. Exercice 5. Convergence uniforme et d ́eriv ́ees
Comment calculer la suite d'une fonction ?
Soit (fn)n ⩾ 1 la suite de fonctions définies sur [ − 1, 1] par fn(t) = 1 n tnsinnt. Montrer que la série ∑ fn converge simplement sur ] − 1, 1[ . Soit a ∈]0, 1[. Montrer que la série ∑ f ′ n converge normalement sur [ − a, a].
Comment converger une suite de fonctions ?
1. Pour tout La suite de fonctions ( ) converge simplement vers la fonction arctan sur [0,1]. 2. La suite de fonctions ( ) converge simplement vers la fonction arctan sur ]0,1]. 3. La suite de fonctions ( ) converge simplement vers [ ,1] vers arctan sur [ ,1].
Comment savoir si une suite de fonctions est décroissante ?
Soit une suite de fonctions (un)n∈N positives définies sur un intervalle I ⊂ R. On suppose que : — La suite de fonctions (un) converge uniformément vers la fonction nulle. — Pour tout x ∈ I, la suite numérique X un(x) est décroissante. Soit X une partie X de R ou . C X X 1. Soit fn une série de fonctions définies sur X à valeurs dans R ou C. 2.

Indication pour l’exercice 3 N

On prendra garde à ne pas parler de limite d’une suite sans savoir au préalable qu’elle converge Vous pouvez utiliser le résultat du cours suivant : Soit (un) une suite convergeant vers la limite ` alors toute sous-suite (vn) de (un) a pour limite `. exo7.emath.fr

Indication pour l’exercice 4 N

Dans l’ordre c’est vrai, faux et vrai. Lorsque c’est faux chercher un contre-exemple, lorsque c’est vrai il faut le prouver. exo7.emath.fr

Indication pour l’exercice 5 N

Pour la deuxième question, raisonner par l’absurde et trouver deux sous-suites ayant des limites distinctes. exo7.emath.fr

Indication pour l’exercice 7 N

Pour la première question : attention on ne demande pas de calculer a L’existence vient du théorème des valeurs intermédiaires. L’unicité vient du fait que la fonction est strictement croissante. Pour la dernière question : il faut d’une part montrer que (xn) converge et on note ` sa limite et d’autre part il faut montrer que ` = a. exo7.emath.fr

Indication pour l’exercice 12 N

Pour la première question et la monotonie il faut raisonner par récurrence. Pour la troisième question, remarquer que si f est décroissante alors f f est croissante et appliquer la première question. exo7.emath.fr

Exercice corrigé. Convergence simple et convergence uniforme pour les suites de fonctions

Exercice corrigé. Convergence simple pour les suites de fonctions

Suites et séries de fonctions exercice corrigé

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