bac sciences
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Résumé : Géométrie ans l’espace I Théorème : Niveau : Bac
Soit un point et ⃗ trois vecteurs de l’espace ( ⃗ ) est un repère de l’espace lorsque et ⃗ ne sont pas coplanaires Le triplet ( ⃗ ) est dit une base de l’ensemble des vecteurs de l’espace |
Quels sont les bac scientifique ?
Le bac S a été remplacé par le bac général, avec des spécialités scientifiques.
La filière scientifique (S) s'adresse à des élèves curieux et ouverts, attirés par les domaines scientifiques.Quel métier faire avec un bac S ?
La filière S (Scientifique) s'adresse aux élèves intéressés par les matières scientifiques (mathématiques, physique-chimie, Sciences de la Vie et de la Terre).
Cette voie scientifique nécessite une grande capacité de concentration, de précision, de méthode et d'être intéressé par l'expérimentation.
Définition : "Repère et base de l’espace"
Soit un point, , et ⃗ trois vecteurs de l’espace. ( , , ,⃗ ) est un repère de l’espace, lorsque , et ⃗ ne sont pas coplanaires. Le triplet ( , ,⃗ ) est dit une base de l’ensemble des vecteurs de l’espace. bactunisie.com
Définition :
Soit ( , , ,⃗ ) un repère de l’espace. Pour tout point , il existe trois réels , et tels que : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = + + ⃗ . , et sont les coordonnées de dans le repère ( , , ,⃗ ). est l’abscisse, est l’ordonnée et est le cote du point . On note : ( , , ). Tout vecteur ⃗ peut s’écrire : ⃗ = + + ⃗ où , et sont des réels. , et sont les coordonnées de
Définition : "Vecteurs colinéaires"
Deux vecteurs ⃗ et de l’espace sont colinéaires s’il existe un réel tel que ⃗ = . bactunisie.com
Définition : "Vecteurs coplanaires"
Trois vecteurs ⃗ , et ⃗ ⃗ de l’espace sont coplanaires s’il existe deux réels et tels que ⃗ = + ⃗⃗ . bactunisie.com
Théorème :
Trois vecteurs ⃗ ( ), ( ′) et ⃗ ⃗ ( " ) de l’espace sont coplanaires ⟺ ′ " Avec : ′ ′ ′ " " = " ′ " − ′ " + " ′ " " ′ ′ ′ " ′ " = 0. ′ " Théorème : Soient , , et quatre points de l’espace. , , et sont coplanaires ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont coplanaires. Théorème : Soit ⃗ un vecteur non nul et un point de l’espace. L’ens
Positions relatives de deux droites :
Deux droites de l’espace sont : Coplanaires (contenues dans le même plan). Dans ce cas, elles sont soit sécantes soit parallèles (strictement ou confondues). Non-coplanaires (ne sont pas contenues dans le même plan). Dans ce cas, elles ne sont ni parallèles ni sécantes. bactunisie.com
Théorème :
Soient et ′ deux droites de l’espace de vecteurs directeurs respectifs ⃗ et . ∕∕ ′ ⟺ ⃗ et sont colinéaires. Théorème : Soient ⃗ et deux vecteurs non colinéaires et un point de l’espace. L’ensemble des points de l’espace tels que les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗ et sont coplanaires est le plan passant par et de vecteurs directeurs ⃗ et . Ce
Positions relatives de deux plans :
Deux plans de l’espace sont parallèles (strictement ou confondus) ou sécants (l’intersection est une droite). bactunisie.com
Positions relatives d’un plan et d’une droite :
Un plan et une droite sont parallèles (strictement ou la droite est incluse dans le plan) ou sécants. bactunisie.com
Théorème :
Un plan et une droite sont parallèles si et seulement s’il existe un vecteur directeur de qui est un vecteur de . Un plan et une droite sont sécants si et seulement s’il existe un vecteur de qui n’est pas un vecteur de . bactunisie.com
Propriétés :
Pour tous vecteurs ⃗ , et ⃗ ⃗ de l’epace et tous réels et : ⃗ ∙ = ∙⃗ ⃗ ∙( +⃗⃗ )= ⃗ ∙ +⃗ ∙⃗⃗ ( ⃗ )∙ = ⃗ ∙( )= (⃗ ∙ ) ( ⃗ )∙( )= (⃗ ∙ ) bactunisie.com
Définition : "Vecteurs normal à un plan"
Un vecteur normal ⃗ à un plan est un vecteur directeur d’une droite quelconque perpendiculaire à ce plan. ⃗ bactunisie.com
Définition : "Orientation de l’espace"
Soit ( , , ,⃗ ) un repère de l’espace. Soit un observateur se tenant debout, dans l'axe ( ,⃗ ), les pieds en et regardant le point I. Si l’observateur a le point à sa gauche, le repère est dit direct. Il est dit indirect dans le cas contraire. Repère direct Repère indirect bactunisie.com
Définition : "Produit vectoriel"
Soit ⃗ et deux vecteurs de l’espace. On appelle produit vrctoriel de ⃗ et , l’unique vecteur noté ⃗ ∧ et défini par : Si ⃗ et sont colinéaires, alors : ⃗ ∧ =0 ⃗ . Si non, alors : ⃗ ∧ est orthogonal à ⃗ et à { (⃗ , ,⃗ ∧ ) est une base directe ‖⃗ ∧ ‖ =‖⃗ ‖⋅‖ ‖⋅sin(⃗ ,̂ ) bactunisie.com
Propriété :
Soit ⃗ et deux vecteurs non nuls de l’espace. Si ⃗ et sont deux vecteurs directeurs d’un plan normal à . , alors le vecteur ⃗ ∧ est un vecteur bactunisie.com
Théorème : "Expression analytique du produit vectoriel"
Soit ( , , ,⃗ ) un ROND de l’espace. Pour tous vecteurs et ⃗ ( ) ′ ( ′), on a : ⃗ ∧ = ′ ′ − ′ ′ + ′ ⃗ ′ ′ bactunisie.com
Théorème : "Cosinus et sinus de l’angle de deux vecteurs"
Soit ⃗ et deux vecteurs de l’espace orienté. Alors : ⃗ ∙⃗ ‖⃗ ∧⃗ ‖ cos(⃗ ,̂ )= et sin(⃗ ,̂ )= ‖⃗ ‖⋅‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖⋅‖⃗ ‖ bactunisie.com
Théorème : "Aire d’un parallélogramme – Aire d’un triangle"
Soit ( , , ,⃗ ) un RON de l’espace et un parallélogramme. L’aire du parallélogramme est égale à : ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ∧⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ En particulier, l’aire du triangle est égale à : ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ∧⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ bactunisie.com
Théorème : "Distance d’un point à une droite"
L’espace est muni d’un RON ( , , ,⃗ ). Soit ( ,⃗ ) une droite, un point de l’espace et son projeté orthogonal sur ( ,⃗ ). La distance de à ( ,⃗ ) est le réel positif noté ( , ) et tel que : = ( , ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧⃗ ‖ ⃗ )= ‖⃗ ‖ bactunisie.com
Définition : "Produit mixte"
Soit ⃗ , et ⃗ ⃗ trois vecteurs de l’epace. On appelle produit mixte des vecteurs ⃗ , et ⃗ ⃗ , noté (⃗ , ,⃗⃗ ) le réel : (⃗ ∧ )∙⃗⃗ bactunisie.com
Théorème : "Volume d’un parallélépipède"
L’espace est muni d’un ROND ( , , ,⃗ ). Soit un parallélipipède et son volume. Alors : = ×h =(⃗⃗⃗⃗⃗ ∧⃗⃗⃗⃗⃗ )∙⃗⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗ ) bactunisie.com
Théorème : "Distance de deux droites"
L’espace est muni d’un RON ( , , ,⃗ ). Soit ( ,⃗ ) et ′( ′, ⃗⃗⃗ ′ ) deux droites non coplanaires, et ′ les intersections de et ′ avec leur perpendiculaire commune. La distance de ( ,⃗ ) à ′( ′, ⃗⃗⃗ ′ ) est le réel positif ′ noté ( , ′) et tel que : ′ ′ ⃗ ⃗⃗ ′ ( , ′) = ∧ ⃗⃗⃗ ′)∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′ ′ = ‖⃗ ∧ ⃗⃗⃗ ′‖ bactunisie.com
Définition : "Sphère"
L’espace est muni d’un RON ( , , ,⃗ ). Soit un point de l’espace et un réel strictement positif. On appelle sphère de centre et de rayon , l’ensemble des points de l’espace tels que = . On la note : ( , ). bactunisie.com
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