exercice corrigé equation differentielle second ordre PDF Cours,Exercices ,Examens

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Quelle est la méthode générale pour résoudre une équation différentielle ?
Résoudre une telle équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions dérivables y définies sur I à valeurs dans R ou C vérifiant, pour tout x∈I x ∈ I , y′(x)+a(x)y(x)=b(x) y ′ ( x ) + a ( x ) y ( x ) = b ( x ) .
Dans la suite, on supposera toujours que a,b sont continues sur I .
Comment trouver les solutions d'une équation différentielle ?
La fonction g est solution de l'équation différentielle y' = ay + b.
Les solutions de l'équation différentielle y' = ay + b, où a et b sont deux réels et , sont les fonctions de la forme où u(x) est la solution particulière constante de l'équation y' = ay + b et v(x) est une solution quelconque de l'équation y' = ay.
Comment trouver l'ordre d'une équation différentielle ?
L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la plus haute dérivée apparaissant dans l'équation. , où 0.
Une équation différentielle linéaire homogène est une équation différentielle linéaire dans laquelle F( x ) = 0.
On dit aussi qu'elle est « sans second membre ».
Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction, et qui se présente sous la forme d'une relation entre cette fonction et ses dérivées.
Ex : y^'+ay=0 avec a réel est une équation différentielle.

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Comment résoudre une équation différentielle du second ordre ?

Si on doit résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, y??(x)+ay?(x)+by(x)=f(x) y ? ( x ) + a y ? ( x ) + b y ( x ) = f ( x ) , alors on commence par rechercher les solutions de l'équation homogène : y??+ay?+by=0 y ? + a y ? + b y = 0 .

Comment résoudre une équation différentielle avec second membre ?

b) Equation avec second membre : Considérons l'équation ay" + by' + cy = d(x).
. Soit y0 solution de cette équation.
. On remarque alors que, comme dans le cas des équations du premier ordre : Page 9 - 9 - i) si z est solution de l'équation homogène associée, alors y0 + z est solution de l'équation complète.

Comment résoudre une équation différentielle non linéaire ?

On peut les résoudre par le changement de fonction inconnue z=y/x z = y / x .
. En posant z=y/x z = y / x , de sorte que y?=xz?+z y ? = x z ? + z , l'équation devient x2z?=xe?z x 2 z ? = x e ? z soit encore (ez)?=1x=(lnx)?. ( e z ) ? = 1 x = ( ln ? x ) ? .

Comment résoudre une équation différentielle de Bernoulli ?

z ? = ( 2 a ( t ) y 0 ( t ) + b ( t ) ) z + a ( t ) z 2 .
. On obtient donc une équation de Bernoulli, que l'on sait résoudre.
. Il s'agit des équations différentielles du type y=a(y?)t+b(y?). y = a ( y ? ) t + b ( y ? ) .

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