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Comment calculer le binôme de Newton ?
et la formule du binôme de Newton traîte le cas de la puissance n en général. ce qui s'écrit, à l'aide du signe somme, (x+y)n=n∑k=0Ckn⋅xkyn−k.
Comment exprimer une matrice en fonction de n ?
.
1) Calculer P2 et vérifier que P est inversible. .
2) Vérifier que D=P−1AP est une matrice diagonale que l'on précisera. .
3) En déduire pour tout entier n⩾1, l'expression de An en fonction de n.
Pour trouver la puissance n-ième d'une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale, tous les autres coefficients restant nuls.
Preuve : Procédons par récurrence, dans le cas des matrices d'ordre 2.

Comment calculer la matrice d'ordre n ?

Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At).
Si A et B sont des matrices carrées d'ordre n, on a det(A⋅B)=det(A)⋅det(B).

Formule du binôme de Newton dans M n ( K ) Soient deux éléments A et B de M n ( K ) qui commutent c'est-à-dire tels que A B = B A . Alors, pour tout entier naturel m supérieur ou égal à 1, on a la formule ( A + B ) m = ∑ k = 0 k = m C m k A m − k B k où C m k désigne le coefficient du binôme.

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