consecutive numbers is divisible by 2 As a result, we may conclude that the product of any three consecutive numbers is divisible by 2 Since 2,3 are prime numbers, a number that is divisible by 2 and 3 is also divisible by 6 We conclude that the product of three consecutive numbers is divisible by 6 Theorem 2: For every number n, n2 +n+1 is
Suppose that 7n-2n is divisible by 5 Our goal is to show that this implies that 7n+1-2n+1 is divisible by 5 We note that 7n+1-2n+1 = 7x7n-2x2n= 5x7n+2x7n-2x2n = 5x7n +2(7n-2n) By induction hypothesis, (7n-2n) = 5k for some integer k Hence, 7n+1-2n+1= 5x7n +2x5k = 5(7n +2k), so 7n+1-2n+1 =5 x some integer Thus, the claim follows by
CS240 Solutions to Induction Problems Fall 2009 1 Let P(n) be the statement that n < nn, where n 2 is an integer Basis step: 2 = 2 1 = 2 < 4 = 22 Inductive hypothesis: Assume k < kk for some k 2
*35 Prove that n2 − 1 is divisible by 8 whenever n is an odd positive integer *36 Prove that 21 divides 4n + 1 + 52n − 1 whenever n is a positive integer *37 Prove that if n is a positive integer, then 133 divides 11n + 1 + 122n − 1
12=1, 22=4, 32=9, 42=16, (n+1)2 = n2+n+n+1 = n2+2n+1 1+3+5+7 = 42 Chapter 4 Proofs by Induction I think some intuition leaks out in every step of an induction proof — Jim Propp, talk at AMS special session, January 2000 The principle of induction and the related principle of strong induction have been introduced in the previous chapter
Remarque 2 1n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur, lui-même Exemple 3 Citer 6 nombres premiers : Test de primalité Soit nun entier supérieur ou égal à 2 Si nn’admet pour diviseur aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à √ n, alors nest un nombre premier
2 2 2 (2x)2 = lim x1 12cos x x2 4x2 2 = lim x1 4cos 1 x = 4 where I went from the second to the third lines using L’H^opital’s Rule Since the limit of the terms is equal to 4, not zero, the series must diverge 1
and taking the inner products of rows 1 and 2, 1 and 3, and, 2 and 3 we get x + y - z - w = 0 x - y + z - w = 0 x - y - z + w = 0 Solving this system of equations gives, x = y = z = w = h/4 Thus, the integer h must be divisible by 4
22 – 1 = 4 – 1 =3 1 is divisible by 3 Assume that P(n) is true for some natural number k, i e , P(k): 22k – 1 is divisible by 3, i e , 22k – 1 = 3q, where q ∈ N Now, to prove that P(k + 1) is true, we have P(k + 1) : 22(k+1) – 1 =22k + 2 – 1 = 22k 22 – 1 = 22k 4 – 1 = 3 22k + (22k – 1)
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CRITERES DE DIVISIBILITE - académie de Caen
Divisible par 4 Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 Divisible par 5 Un nombre est divisible par 5 si il se termine par un 0 ou un 5 Divisible par 9 Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 Divisible par 10 , 100 , 1000 Un nombre est divisible respectivement par 10, 100, 1000
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DIVISIBILITE - jouons-aux-mathematiquesfr
a) Si un nombre est divisible par 3 et par 5 alors il est divisible par 15 b) Si un nombre est divisible par 6 et par 4 alors il est divisible par 24 c) Si un nombre est divisible par 2 et par 4 alors il est divisible par 8 d) Si un nombre est multiple de 6 et de 4 alors il est divisible par 12 Taille du fichier : 778KB
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Exercice 2 : Déterminez de déterminer si un nombre A est
A est divisible par B A est un multiple de B il existe un entier N tel que A = N B A / B est un entier ( N ) A / B est un décimal sans chiffres derrière la virgule et la calculatrice possède la fonctionnalité « Un nb possède ( ou pas ) des chiffres derrière la virgule » : [est Frac que lon trouve dans OPTN puis NUM
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Crit res de divisibilit - académie de Caen
Un nombre (entier) est divisible par 2 s’il se termine par 0 , 2 , 4 , 6 ou 8 Remarque : Un nombre ( entier) divisible par 2 s’appelle un nombre pair Un nombre qui n’est pas divisible par 2 est un nombre impair Exemples : 18 ; 256 ; 54 ; 1 452 ; 2 040 sont divisibles par 2 Ce sont des nombres pairs Taille du fichier : 143KB
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Critères de divisibilité 6 - univ-tlnfr
auquel cas le critère devient : un nombre n est divisible par 3 si la somme itérée est égale à 0, 3, 6 ou 9 Exemple : le nombre 710734122 est divisible par 3, en e et, 7+1+0+7+3+4+1+2+2 = 27 2+7 = 9 4 Divisibilité arp 4 Un nombre n est divisible par 4 si 2 d+u (itéré) est égal à 0, 4 ou 8 où d désigne le chi re des dizaines et u le chi re des unités Taille du fichier : 50KB
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DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES
Si on prend deux quelconques de ces nombres, alors leur différence est divisible par 5 Par exemple : 21 – 6 = 15 qui est divisible par 5 On dit que 21 et 6 sont congrus modulo 5 Définition : Soit n un entier naturel non nul Deux entiers a et b sont congrus modulo n lorsque a – b est divisible par Taille du fichier : 1MB
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Seconde/Arithmétique: diviseurs,entiers premiers
Divisible par 2 Divisible par 3 Divisible par 5 Divisible par 9 Exercice 8245 1 Donner l'expression des fractions ci-dessous sous forme irréductible: a 14 26 b 66 27 c 15 55 d 56 40 2 E ectuer les opérations ci-dessous en simpli ant au préalable chacun des termes du calcul: a 15 25 + 9 15 b 42 14 − 36 12 Exercice 8243 L'entier 10 possède 4 diviseurs qui sont:
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EXERCICES : Multiples et diviseurs, divisibilité
1) Pour savoir si un nombre est divisible par 4, Claire utilise une propriété : « si le nombre formé par le chiffre des dizaines et celui des unités est divisible par 4, alors ce nombre est divisible par 4 » Utiliser cette propriété pour montrer que ces nombres sont divisibles par 4 528 936 1352Taille du fichier : 14KB
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5ème EXERCICES : Divisibilité - Free
1) Donner un nombre entier de 4 chiffres différents divisible par 2 et 5 2) Donner un nombre entier de 5 chiffres différents divisible par 9 et 2 3) Donner un nombre entier de 6 chiffres différents divisible par 3 et 5 Les réponses données devront être justifiées
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Polynômes Rappels
Théorème a est racine de P 6= 0 si et seulement si P est divisible par X −a Corollaire Un polynôme non nul de degré n ∈ Na un nombre de racines au plus égal à n Corollaire • Un polynôme de degré inférieur ou égal à n ∈ Nqui admet au moins n+1 racines deux à
On peut savoir si un nombre entier est ou n'est pas divisible par 2, 5, 10, 3, 9, ou 4 sans faire la division euclidienne, grâce à des critères de divisibilité
Comment savoir si un nombre est divisible par ou
est divisible par " " a pour diviseur " Exemples 3 × 7 = 21 donc 21 est un multiple de 3 et de 7 21 est divisible par 3 et par 7 3 et 7 sont des diviseurs de
extrait C A me math
Divisible par 2 Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est divisible par 2, c'est à dire s'il se termine par 0 , 2 , 4 , 6 ou 8 Divisible par 3 Un nombre
Criteres de divisibilite Resume
Les nombres entiers qui se terminent par 0 ou 5 sont divisibles par 5 Les nombres entiers dont la somme des chiffres est divisible par 3 sont eux-mêmes
premiers
Un nombre entier est divisible par 4 lorsque les deux derniers chiffres de son écriture sont: 00 04 08 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72
crtiere divisibilite
Divisibilité par 2 Un entier naturel est divisible par 2 ssi son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 Pour un entier à 4 chiffres, on a donc : 2 2 abcd d ⇔
e Caracteres de divisibilite des entiers
savoir repérer qu'un nombre entier est divisible par 2 * savoir repérer qu'un d) Y a-t-il des nombres divisibles par 10 dans cette liste ? Exercice 3 : a) Écrire
exercices chap
Démontrer que quel que soit l'entier naturel n le nombre D=3n+ 3−44 n+ 2 est divisible par 11 EXERCICE 2 1 Dans le système de numération de base 6,
arithmetique congruences criteres divisibilite ex
Exercice 13 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n pair, donner le reste de sa division par 8 Exercice 14 Trouver le reste
FDM TD
In Exercises 1-15 use mathematical induction to establish the formula for n ? 1. 1. 1. 2. + 2. 2. + 3. 2. + ··· + n. 2. = n(n + 1)(2n + 1).
?n is always divisible by 30. Use the fact that n. 5. ?n = (n?1)n(n+1)(n. 2. +1) to prove that it is divisible by 2 and 3 as well as 5.
1 · 3+2 · 4+3 · 5 + ··· + n(n + 2) = n(n + 1)(2n + 7). 6 is valid. Proof: (formal style; it is good to do a few proofs this way) We will use the Principle
12-Feb-2006 Example 3: for n a natural number prove that: 1) if n ? 2 then n3 ? n is always divisible by 3
2! + t4. 4! 3 t6. 6! + 17 t8. 8!
* Prove that. 12 + 22 + ··· + n2 = n(n + 1)(2n + 1). 6 for all positive integers n. Exercise 1.2. * Show that. 1 ?. 1. 2. +. 1. 3. ?
8.1.3 Some important observations. 1. The total number of terms in the binomial expansion of (a + b)n is n + 1 i.e. one more than the exponent n. 2.
If we had shown P(3) as our basis step then the inequality would only be proven for n ? 3. 2. For any positive integer n n. ? i=1. 1 i(i + 1). = 1. 1 · 2.
(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) = abc. ?=(a ? 1)2 ? 4a(a ? 1) = (1 ? a)(1 + 3a). ... (i) f(2n ? t(m)) ? 3(n?1)/2 if 2n + m is divisible by 3;.
principle of induction P(n) is true for all positive integers n > 1. herefore each term in the product (1+2+22)(1 +3 +3² +3³)(1 +.
So now for instance x2 ?2 is not divisible by x? ? 2 over Q since x? ? 2 doesn’t exist over Q Problem 9 Show that x2?2 is irreducible over Q (Hint: Suppose it were reducible What would the degrees of the factors have to be and what does that mean?) Problem 10 Show that x3 ?2 is irreducible over Q (Hint: This is similar
1+n2 = 0 and (ii) the sequence of terms 1+n2 are decreasing To see (i) notice that we can divide numerator and denominator by n2 to get lim n?? 1 n2 ·n 1 n2 (1+n 2) = lim n?? 1 n 1 n2 +1 = 0 To see (ii) let f(x) = x 1+x2 Then f0(x) = (1+x2)·1?x·2x (1+x2)2 = 1?x2 (1+x2)2 ? 0 for x ? 1 Therefore f is a decreasing
3 MATHEMATICAL INDUCTION 89 Which shows 5(n+ 1) + 5 (n+ 1)2 By the principle of mathematical induction it follows that 5n+ 5 n2 for all integers n 6 Discussion In Example 3 4 1 the predicate P(n) is 5n+5 n2 and the universe of discourse
How to prove n is true for all integers n 1?
Mathematical induction can be used to prove that a statement about n is true for all integers n ? 1. We have to complete three steps. In the basis step, verify the statement for n = 1. In the inductive hypothesis, assume that the statement holds when n = k for some integer k ? 1.
Does f(n) = n 1+n2 converge?
Therefore, f is a decreasing function in the relevant range, so the terms f(n) =n 1+n2are decreasing. 1 We know that the series converges, but we need to determine whether it converges absolutely or not. In other words, we must determine if X? n=1 (?1) nn 1+n2 = X? n=1 n 1+n2 . converges or not.
Is p divisible by Q over C?
Definition 1Let p and q be polynomials in the complex numbers C. We say that p is divisble by q over C if there exists a polynomial r such that p(z) = q(z)r(z). Problem 1 By long division (which we learned how to do last week), answer the following: • Is x3?2x2+ x?2 divisible by x?2 over C?
1. 1 + 2 + 3 + ··· + n = n(n + 1)(2n + 1) 6 Proof: For n = 1 the