Méthode 1 : tan(x) = sin(x) cos(x) Partez avec les développements limités de sin et cos à l'ordre 5 : sin(x) = x − x3
dl
dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0, en abrégé DLn(x0), s'il sin x cos x = x + 1 3 x3 + x3ε(x) Attention Le critère précédent dit tout
DL
Développements limités (suite et fin) Dédou Avril 2011 pas besoin de calculer Le résultat est donc x ↦→ 1+x Exo 2 Calculer le DL3 en x := 0 de sin x 1−x
dlop
1 On dit que f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de Donc lim x→0 (1 + sin x) 1 x = e 3 Cherchons lim x→0 ex − cos x − sin x x2
developpements limites
Exemple Calulons le développement limité à l'ordre 3 en 0 de tan x = sin x/cosx On a cos 0 = 1 = 0
dl
Déterminer le développement limité en 0 à l'ordre 4 de : ( ) 1 ( ) 1 sin x f x x = + Analyse Lorsque l'on s'intéresse à la limite de la fonction f en 0 (premier terme
DEVTLIM
1 Unicité Une fonction ne peut admettre qu'un seul développement limité d' ordre sin(x) = x − x3 3 + x5 5 − + (−1)n x2n+1 (2n + 1) + arctan(x) = x −
mathsTD
1 Développements limités usuels en 0 e x = 1+ x 1 + x2 2+ ··· + xn n+ sin x = x − x3 3+ ··· + (−1)n x2n+1 (2n + 1)+ O (x2n+3) cos x = 1 − x2 2 + x4 4+
DL
tan x, 1 1 - x + x2 , exp(sin x), √sin x x Exercice 3 —Intégration Calculer les développements limités en 0 `a l'ordre 4 des fonctions suivantes : ln(x
m TD
1 sinx = +∞ et de même lim x→0+ 1 tanx = +∞ de sorte que l'on se retrouve avec On dit qu'une fonction f admet un développement limité `a l'ordre n au
m .dlRapide
1. Développement limité en 1 à l'ordre 3 de f(x) = (arctanx). 1 x2. 3. lim x?0. (1+3x). 1. 3 ?1?sinx. 1?cosx. Indication ?. Correction ?.
dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 sin x cos x. = x +. 1. 3 x3 + x3?(x). Attention. Le critère précédent dit tout simplement que ...
fonction développement limité fonction usuelle. 1. 1 ? x. 1 + x + x2 + + xn + xne(x) sinx x ?x3. 3! +x5. 5! + ... + (?1)°x2°+1. (2p + 1)!.
Déterminer le développement limité en 0 à l'ordre 4 de : (. ) 1. ( ) 1 sin x. f x x. = +. Analyse. Lorsque l'on s'intéresse à la limite de la fonction f en
21.1.1 Développement limité d'ordre n en x0 . (?1)k x2k+1. (2k + 1)!. + x. 2n+1 ?(x) soit sin x = x ? x3. 3!+ ··· + (?1)n x2n+1. (2n + 1)!. + x. 2n+1.
cos(sin x) = 1 qui n'est pas 0 la fonction constante 1 est donc un équi- Effectuer le développement limité de sin x
(sinx)x?xsinx ln(x?x2)+x?lnx. 12. limx?+?. (ln(x+1) lnx. )x. 13. lim x?1/ 1. Montrer que f admet en 0 un développement limité d'ordre 2.
Soit f une fonction réelle admettant un développement limité à l'ordre n en Développement limité de sin(x) en 0 à l'ordre n (valable pour n =2p + 1 ou ...
http://www.gm.univ-montp2.fr/spip/IMG/pdf/mathsTD4.pdf
http://www.cmapx.polytechnique.fr/~benaych/Annales_Sujets_MC1/devoir_DL_tan_correction.pdf
Développements limités