LA FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE e LA FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE 10 I) Introduction: 1)a) Construire le graphe de la fonction ln , dans le plan muni d’un repère orthonormé Les résultats connus: lim xo0 lnx = ; lim xo f lnx =
Le but de ce chapitre est de construire une des fonctions mathématiques les plus importantes Elle est en effet présente dans toutes les sciences Sa construction se fait à partir d’une équation différentielle 1 La fonction exponentielle 1 1 Définition et théorèmes Théorème 1 : Il existe une unique fonction f dérivable sur R
Pour construire la courbe représentative de la fonction exponentielle on notera qu'elle passe par le point de coordonnées (0, 1) et que la tangente en ce point admet y=x+ 1 comme équation En effet : e0=1 et le nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0 est aussi e0=1 La formule y= f '(a)(x−a)+ f (a) devient donc y=e0(x−0)+ e0=x+ 1
Fondamental : Une exponentielle est toujours positive Pour tout réel Complément En effet, toute exponentielle s'écrit comme un carré : A ce titre est donc toujours positif Fondamental : L'exponentielle est croissante la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même Or celle-ci est toujours positive
Attention : Il existe d’autres modèles de croissance On peut construire un modèle non exponentiel continu et dérivable de croissance qui vérifie l’énoncé Mais : La fonction qui vérifie cet énoncé et que nous étudierons cette année est appelée une fonction exponentielle Approche discrète des fonctions exponentielles
exponentielle à partir de sa définition sur l’intervalle [−A; A] On fera une approche de la fonction exponentielle à l’aide d’une approximation affine : f(a +h)≈ f(a)+hf′(a) L’approximation sera d’autant meilleure que h sera petit Comme la fonction exponentielle vérifie f′ = f, cette approximation affine de-vient alors :
4) Construire la courbe C de f dans un repère orthonormal pour x ∈ [0;8] Unité graphique 1 cm Exercice15 Amérique du sud novembre 2013 Partie A Soit f la fonction définie sur Rpar : f(x) = xe1−x 1) Vérifier que pour tout réel x, f(x) = e × x ex 2) Déterminer la limite de la fonction f en −∞
exponentielle b-montrer que les points A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1 Construire les points A ; B et C dans la figure (2) de l’annexe 4-soient les points E et F du plan d’affixes respectives ???? =???? − et ???? =???? − a-montrer que OEAC et OFBC sont des parallélogrammes b-construire alors E et F
Théorie des Probabilités JUDITH ROUSSEAU TRAVAUX DIRIGES Année 2009-2010 ENSAE 1
Nombres complexes-Représentation géométrique-Forme exponentielle 2 Si M≠A et M≠B alors donner une interprétation géométrique du module et d'un argument de Z 3 Déterminer et construire l'ensemble (E1) des points M(z)tels que Z soit un imaginaire
nous permettant de la construire pas à pas L'unicité d'une telle fonction fait l' objet d'une ROC :) C ROC : Démonstration de l'unicité de la fonction exponentielle
Ch Exponentielle papier
Les différentes fonctions exponentielles introduites ici per- mettent de construire plusieurs isomorphismes de groupes, certains d'entre eux ayant déj`a été
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de construire les solutions de l'une ou l'autre équation Qu'on ne Tout morphisme de R vers R? (ou C?) continu en un point est une fonction exponentielle
exponentielle
dérivée f • pour tout réel x où f existe, il s'agit de construire une approximation de la courbe représentative (Cf) de f sur un intervalle I contenant x0 Principe :
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