Number Theory II: Congruences Congruences are a simple, but extremely useful concept in number theory The magic of congruences (\modular arithmetic") can often turn an otherwise complex and lengthy argument into a couple of lines This handout summarizes the basic de nitions and results about congruences that you need to know De nition
separate congruences with the same modulus that we know are true, such as 9 ” 2 ( mod 7 ) and 17 ” 3 ( mod 7 ) Now add and multiply these congruences to get two new congruences Check if the new congruences are true Exercise 3: Prove the following statement "If a ” b ( mod m ), then a2 ” b2 ( mod m )" Hint: Do not fall back on the
BASIC PROPERTIES OF CONGRUENCES The letters a;b;c;d;k represent integers The letters m;n represent positive integers The notation a b (mod m) means that m divides a b We then say that a is congruent to b modulo m 1 (Re exive Property): a a (mod m) 2 (Symmetric Property): If a b (mod m), then b a (mod m) 3
One of the facts that makes congruences so useful in arithmetic is that they respect the operations of addition and multiplication Theorem 3 Let n ∈ Nand a,b,c,d ∈ Z If a ≡ b (mod n) and c ≡ d (mod n), then: 1 a +c ≡ b +d (mod n); 2 ac ≡ bd (mod n) Proof Write a −b = nk and c −d = nℓwith k,ℓ∈ Z Then
Linear Congruences In ordinary algebra, an equation of the form ax = b (where a and b are given real numbers) is called a linear equation, and its solution x = b=a is obtained by multiplying both sides of the equation by a 1 = 1=a The subject of this lecture is how to solve any linear congruence ax b (mod m)
the congruences whose moduli are the larger of the two powers Finally, again using the CRT, we can solve the remaining system and obtain a unique solution modulo € [m 1,m 2] The proof for r > 2 congruences consists of iterating the proof for two congruences r – 1 times (since, e g , € ([m 1,m 2],m 3)=1) // Example: To solve € x≡3
congruences € x2≡a(modp i) fails to have a solution If all the congruences in (**) are solvable, they will have exactly two solutions each, whence the system will have 2 € k solutions mod m This leaves us with the problem of solving the fundamental congruence € x2≡a(modp): how does one tell whether a is a quadratic residue, and if so,
Solve the system of congruences 2x ≡ 1 (mod 5), 3x ≡ 9 (mod 6), 4x ≡ 1 (mod 7), 5x ≡ 9 (mod 11) Solution We solve the congruences individually, then “glue” our solutions together using the CRT If we multiply both sides of the first congruence by 3 it becomes x ≡ 3 (mod 5) If we divide by 3 in the second congruence it becomes
Congruences: arithmetic (mod n) Mathematics for Computer Science MIT 6 042J/18 062J Albert R Meyer, March 9, 2015 Congruence mod n Def: a ≡ b (mod n) iff n(a - b) example:30 ≡ 12 (mod 9) since 9 divides (30 - 12) congruence 2 Albert R Meyer, March 9, 2015 example: 66666663 ≡ 788253 (mod 10) WHY? 66666663 - 788253 xxxxxxx0 Congruence mod n
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Les congruences Principe des congruences
Les congruences sont très utiles car elles permettent de ramener des calculs avec de très grands nombres à des calculs avec des nombres raisonnables Elles permettent aussi d’utiliser facilement les raisonnements par disjonction des cas Comment ça marche ? Pour déterminer des congruences modulo n , on élimine du nombre les multiples de n Taille du fichier : 166KB
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Congruences - unicefr
28 CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE eta,ontrouveu= ( 1)Np N 1 etv= ( 1)N 1q N 1 avecau+ vn= d Celadonneau d (mod n) Enmultipliantpar b d ontrouvera(ub d) b(mod n) Lacongruenceax b(mod n) estéquivalenteàa d x b d (mod n d) avec a d et n d premiersentre eux Commelessolutionsdecettedernièrecongruencesontuniquesmodulo n d,lessolutionsTaille du fichier : 274KB
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Congruences
http://xmaths free fr/ TS − Congruences page 3 / 3 (voir réponses et correction ) 1°) En utilisant une calculatrice ou un ordinateur, calculer 3 2n+1 + 5 2n+1 pour n = 0, 1, 2, Vérifier dans chacun des cas que 3 2n+1 + 5 2n+1 est divisible par 4 2°) Démontrer que
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Congruences dans Z; anneaux Z - Claude Bernard University
Toutes les congruences sont modulo 10 On a 72 ≡ −1 d’ou` 74 ≡ 1 Comme 1980 = 4 495, 71980 = (74) 495≡ 1 = 1, d’ou` (71980)1990 ≡ 11990 ≡ 1 De mˆeme, 32 ≡ −1, 34 ≡ 1, 380 = 34 20 ≡ 120 = 1 (380) 90≡ 1 = 1 et donc N ≡ 0, N est divisible par 10 41
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DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES
III Congruences dans Exemple : On considère la suite de nombres : 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36 Si on prend deux quelconques de ces nombres, alors leur différence est divisible par 5 Par exemple : 21 – 6 = 15 qui est divisible par 5 On dit que 21 et 6 sont congrus modulo Taille du fichier : 1MB
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Congruences - Arithm etique Apprendre a calculer avec les
Congruences - Arithm etique Sp e Maths terminale S : Exercices Corrig es en vid eo avec le cours surjaicompris com Apprendre a calculer avec les congruences 1 D emontrer que 115 27[11] et que 39 27[11] 2 Trouver un entier naturel n inf erieur a 100 qui v eri e : (n 27 [11] n 4 [7]Taille du fichier : 149KB
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351 - Congruences - ChingAtome
TerminalesS-Spécialité/Congruences 1 Premiers exercices de congruences : Exercice 3402 Vérifier la véracité de chacune des égalités suivantes: a 15 27 (mod 3) b 17 11 (mod 4) c 153 237 (mod 12) d 5 8 (mod 13) e 81 224 (mod 6) f 374 1 (mod 4) Exercice 3365 1 Déterminer une valeur de l’entier a2 [10;20] pour laquelle l’égalité est vraie:
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Congruences Critères de divisibilité
Congruences Critères de divisibilité n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 a,a' ,a'' entiers relatifs Si a≡a'(modn) et si a'≡a''(modn) alors a≡a''(mod n) Démonstration: a−a' '=(a−a')+(a'−a'') (a−a') est un multiple de n; (a'−a'') est un multiple de n
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Congruences dans Z Applications - CBMaths
2 Congruences 2 1 Premiers résultats Définition 2 1(Congruence) Soient n2Z et a;b2Z On dit que aest congru à bmodulo nsi nja b On note alors a b(mod n) Exemples 2 2 1 11 1 (mod 5) car 5 j11 1 2 25 4 (mod 7) car 7 j25 4 Définition 2 3 Soient n2N, a;b2Z On dit que aest congru à
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Thème : Quelques applications des congruences
congruences » Objectifs : Réinvestir les connaissances sur les algorithmes et les tableurs Partie A Soit l’algorithme : Déclaration des variables , , sont des entiers naturels Début d’algorithme Affecter à la valeur 0 Demander la valeur de Demander la valeur de Tant que ≥ Affecter à la valeur +1
Congruences Définition 1 1 Soit m, a, b entiers On dit que a est congru à b modulo m si m divise a − b (On dit aussi que “a et b sont congrus modulo m” )
cours
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES I Divisibilité dans Définition : Soit a et b deux entiers
DivisibTS
Pour déterminer des congruences modulo n , on élimine du nombre les multiples de n Exemple 1 On sait que ; 15 est donc égal à un multiple de 7 plus 1 ; on a
congruences
Résolution des équations sur les congruences Supposons que l'on cherche à résoudre : 3x ≡ 5 (mod 7) Cela est facile car le modulo est premier : On sait que
mvc
On raisonne en congruence modulo n On utilise les propriétés opératoires des congruences (additions, multiplications, puissances) 2°) Démontrer qu'un entier A
TS+sp C A +Fiche+sur+les+congruences+version+
Congruences prérequis : toute l'arithmétique de Z, c'est un anneau euclidien donc principal donc factoriel : notions de pgcd, ppcm, relation de Bezout
congruence
Leçon du 11 février 2014 : divisibilité et relation de congruence dans Z Les classes d'équivalence des relations de congruence modulo n sont appelées
SRSMathInfo Cours
13 jan 2017 · Les congruences Elles sont basées sur l'arithmétique (entière), et plus précisément sur la division euclidienne o Paul Jolissaint
JOLISSAINT confU a comp
CONGRUENCES MODULO n Définition Deux entiers a et b sont congrus modulo n signifie que a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n
TS sp C A cialit C A Divisibilit C A , Primalit C A et Congruences dans Z S C A ance
Combien d'entiers naturels inférieurs `a 1000 sont congrus `a 27 modulo 11? Chiffre des unités avec les congruences A l'aide des congruences, quel est le
congruence spe maths exercice