Arrangement Arrangementdep élémentsparmin avecrépétition: Nombredelistesordonnéesdep élémentsparmin,maisons’autorisedes répétitionséventuellesdeséléments
1 5 Cardinal d’un ensemble fini D´efinition 1 5 1 Soit E un ensemble fini On appelle cardinal de E le nombre des ´el´ements de E not´e card(E) ou E Th´eor`eme 1 5 2 Si E et F sont deux ensembles finis alors 1 card(E ×F) = card(E)card(F), ou` E ×F est le produit cart´esien de E par F 2 card(E ∪F) = card(E)+card(F)− card
Le nombre d’éléments d’un ensemble E est appelé Cardinal de E noté Card (E) = n Dénombrer un ensemble fini, c’est compter ses éléments, c’est-à-dire calculer son cardinal 1) Définition 2 - Exemple Si A = il comporte 0 élément alors Card(A) = 0 Dénombrement Principe fondamental de dénombrement
Donc d’après la formule de Laplace, on a : 20 1 A 200 10 P * L’argument « un par dizaine » est tout à fait rigoureux Autre façon : en utilisant les cardinaux Rappel : le cardinal d’un ensemble est le nombre d’éléments de cet ensemble On note l’univers des possibles de l’expérience aléatoire
E étant un ensemble fini de cardinal n déterminant le nombre de parties de E (de combinaison) sans oublier l’ensemble vide ( ) et E lui-même Solution : L’ensemble de toutes les parties de E comprend :-L’ensemble vide 1 ( partie-Les parties de E à 1 éléments, il yen a-Les parties de E à 2 éléments, il y en a -
savoir la probabilité de tirer "au moins une boule noire", il est plus facile de calculer la probabilité de ne tirer "aucune boule noire" et d'enlever le résultat à 1 La propriété 1 peut également servir à démontrer qu'une probabilité est à aleursv dans [0;1] qui n'est normalement pas dans la dé nition Remarque 14 4 Soient (;P
• Probabilité conditionnelle, notation PA(B) Distinguer PA(B) et PB(A), problème d’inversion du conditionnement Indépendance de deux événements • Partition de l’univers, formule des probabilités totales • Succession de deux épreuves indépendantes 1 Situation de probabilité :
En classe de 2e nous avons vu que dans le cas de l’équiprobabilité la probabilité d’un évènement est donné par la formule de Laplace : « nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles » Pour appliquer cette formule il faut donc être à même de
CHAPITRE 3 •CARDINAL D’UN ENSEMBLE 27 3 1 Ensembles finis 27 3 2 Ensembles dénombrables 30 3 3 Cardinaux 31 3 4 Ensembles infinis 35 3 5 Exercices sur le chapitre 3 36 CHAPITRE 4 •ANALYSE COMBINATOIRE 39 4 1 Le principe des choix successifs 39 4 2 Arrangements 42 4 3 Permutations 43 4 4 Combinaisons 45 4 5 Formule du binôme 48
Année universitaire 2012-2013 UNIVERSITÉ DE LORRAINE Olivier GARET Intégration et Probabilités
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Cardinalité
kbn k (formule du binôme) Dénombrement Combinaison 15/23 Combinaison Combinaisonsdep élémentsparmin avecrépétition: Nombredelistesnonordonnées,avecrépétitionéventuelle,dep éléments dansunensemblecontenantn éléments K p n = C +p 1 = (n + p 1) p(n 1) Examples: Dénombrement Combinaison 16/23 Combinaison Combinaisonsdep élémentsparmin avecrépétition
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Chapitre 2 Le calcul des probabilit s - Renaud Bourles
ou card(E) repr esente le cardinal de E c’est a dire le nombre d’ ev enements el ementaires contenus dans E Remarque : On a bien P() = 1 P(A[B) = P(A) + P(B) si A\B = ; (car alors card(A\B)=0) Renaud Bourl es - Ecole Centrale Marseille Math ematiques pour la nance
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Probabilités - BAC DE FRANCAIS
Calcul de probabilité d’un événement dans le cas de l’équiprobabilité Soit Ω l’univers associé à une expérience aléatoire Dans le cas de l’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est : ( ) nombre de résultats favorables à A ( ) ( ) nombre de résultats possibles Card A p A Card = = Ω Démonstration :Taille du fichier : 42KB
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Cours de mathématiques Partie IV – Probabilités
Comme nous l’avons déjà défini dans les fondements, le cardinal d’un ensemble fini correspond de façon intuitive à son nombre d’éléments De façon plus rigoureuse : Définition 1 1 1 (Cardinal d’un ensemble) E est de cardinal n ∈ N, si et seulement s’il existe une bijection ϕ :
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Cours de mathématiques Partie IV – Probabilités
Proposition 29 1 2 (Cardinal d’une union disjointe) Soit A, B, A1, ,An des ensembles finis 1 Si A ∩ B = ∅, alors A ∪B = A +B 2 Plus généralement, si pour tout (i,j) ∈ [[1,n]]2 tel que i 6= j, Ai ∩ Aj = ∅, alors A1 ∪··· ∪An = A1 +···+An Proposition 29 1 3 (Cardinal Taille du fichier : 504KB
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Cours 3: Rappels de probabilités
l’univers est fini, de cardinal Ω, on a p i = p =1/ Ω On définit alors la probabilité P comme précédemment: soit A un événement quelconque Cette probabilité est appelée probabilité uniforme sur Ω ( ) A P A = ΩTaille du fichier : 260KB
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Chapitre 3 : Combinatoire, Probabilités
appelle cardinal de E son nombre d’éléments n, et on écrit card E n= On se demande combien il y a de façons différentes de les ordonner On fabrique à chaque fois un n-uplet différent d’éléments distincts de E: 21 3n { x , x , x , , x } Chacun de ces n-uplet est appelé permutation des n éléments
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Ch 1 Ensembles et d´enombrement I Ensembles
D´efinition 8 Soit A un ensemble fini Le cardinal de A, not´e A, est le nombre d’´el´ements que contient A (exemple) Proposition 9 Additivit´e Soient A et B deux ensembles finis, disjoints (c’est-`a-dire A ∩ B = ∅) Alors A ∪ B = A + B Proposition 10 Multiplicativit´e Soient A et Taille du fichier : 167KB
Probabilités () Si E est un ensemble fini, le cardinal de E est le nombre d' élément de E La seconde formule s'appelle formule des probabilités totales
probadiapos
cardinal d'un ensemble précise la notion de nombre d'éléments Ensemble de même cardinal équiprobable (c'est à dire que chaque élément à la même probabilité d'être tiré), la probabilité n akbn−k (formule du binôme) Dénombrement
Slide Cardinalite
notion de cardinal : Deux ensembles E et F ont le même cardinal si et seulement Probabilité conditionnelle, formule des probabiliés totales, formule de Bayes
polycopier L
Si Ω = {ω1, , ωn} est de cardinal n ∈ N∗, alors l'additivité donne : - si P est une ainsi que les formules des probabilités totales et de Bayes reste valable
probas
Théorème (Équipotence et cardinal) Soient E et F deux ensembles Si E est fini et s'il existe Lorsque les ensembles A1, ,An sont DISJOINTS DE MÊME CARDINAL, la formule : n ⊔ k=1 Ak = n ∑ k=1 probabilités Des exemples valent
Cours Denombrement
Deux ensembles finis équipotents ont le même cardinal La première formule se montre par récurrence en ayant conscience que les ensembles ( n ∏ i=1
denombrements
2 4 2 Formule des probabilités composées 35 Si E et F sont deux ensembles finis de même cardinal, il existe une bijection de E sur F
chap P courant
Par convention, on dira aussi que l'ensemble vide est fini, de cardinal 0 Pour démontrer une formule de la forme S = a1 +a2 +···+an, dans laquelle S, a1, , an
Cours E D C A nombrement
Corollaire 12 Soit A un ensemble fini de cardinal n. Le cardinal de P(?) vaut 2n. ... Proposition 33 (Formule des probabilités totales).
22 janv. 2017 tiques fondamentales (utilisées souvent en probabilités entre autre). ... Le nombre des éléments de E est appelé cardinal de E. Il est noté.
Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Probl`eme : Comment calculer les cardinaux dans des.
Ces deux ensembles ont donc même cardinal. La derni`ere formule qui justifie le calcul des coefficiets binomiaux via le triangle de Pascal ci-dessus
Si E et F sont deux ensembles finis le cardinal du produit cartésien E × F La seconde formule s'appelle formule des probabilités totales.
Cette formule n'est valable que lorsque les événements élémentaires sont bien équiprobables. Dans ce cas il suffit de savoir calculer le cardinal des
Méthode : Calculer une probabilité conditionnelle à l'aide d'un tableau On rappelle que Cardinal de A noté Card(A)
cardinal d'un ensemble précise la notion de nombre d'éléments équiprobable (c'est à dire que chaque élément à la même probabilité.
14 janv. 2014 cadre des probabilités finies la probabilité d'un évènement se ... C'est une conséquence de la formule de cardinal du produit vue un peu ...
Le cardinal de A est donc 63 ?53 et sa probabilité est 1?(5 Ai et la probabilité de A découle de la formule de Poincaré :.
On a (X = x) ? ? il s'agit d'un événement et on peut calculer sa probabilité Exemple : on lance trois fois une pi`ece ? = {F P}×{F P}×{
Qui se traduit de la manière suivante avec les cardinaux Proposition Soient E et F deux ensembles finis On a : Il existe une application injective de E dans
Le cardinal de P(E) est donc la somme des cardinaux des Pk(E) pour k = 0 n ce qui donne la formule Pour prouver la cinqui`eme propriété il suffit de
Si E est un ensemble fini le cardinal de E est le nombre d'élément de E La seconde formule s'appelle formule des probabilités totales
pdf ? Éléments de cours de Probabilités de Jean-François Marckert : Cardinal : Le nombre des éléments d'un ensemble fini A est appelé cardinal de A
Définir la notion de cardinal et les opérations sur les cardinaux Formule du crible 3 Notion de dénombrabilité 4 Arrangements permutations et combinaisons
Cette formule permet de calculer la probabilité d'un événement B en le décomposant suivant un système complet d'événements (En effet B est égal à la
probabilité d'un événement E est défini par P(E) = card(E) card(?) o`u card(E) représente le cardinal de E c'est `a dire le nombre
6 mar 2008 · Peut-on trouver une formule pour compter le nombre d'arrangements ? probabilité d'un év`enement G est donnée par : P(G) =
Soit E un ensemble fini le cardinal de E noté Card(E) ou E désigne le nombre de ses éléments • P(E) désigne l'ensemble des parties de E (y compris l'
On a (X = x) ? ?, il s'agit d'un événement, et on peut calculer sa probabilité. Exemple : on lance trois fois une pi`ece. ? = {F, P}×{F, P}×{ Questions associées
Comment calculer le cardinal en probabilité ?
= P(A) + P(B) ? P(A ? B).Comment calculer le cardinal de à ?
Le cardinal de A, noté Card(A), est le nombre d'éléments de l'ensemble A.Comment calculer le cardinal de A B ?
Card(A ? B) = Card(A) + Card(B) ? Card(A ? B). En particulier, si A et B sont disjoints, alors Card(A ? B) = Card(A) + Card(B). >- En mathématiques, la cardinalité est une notion de taille pour les ensembles. Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble.
Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux