Deux nombres naturels dont PGCD est 1 sont dits premiers entre eux Deux nombres sont premiers entre eux quand ils ont comme seul diviseur commun 1 DFP de deux nombres premiers entre eux ne comporte aucun facteur commun Divisibilité par un produit de nombres premiers entre eux: Propriété 1 : Si n est divisible par a et par b et si a et b
On dit que a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1 Remarque • Deux nombres sont donc premiers entre eux s'ils n'ont d'autres diviseurs communs que 1 et -1 • On dit aussi que a est premier avec b, ou que b est premier avec a • On dit aussi parfois que a et b sont étrangers Exercice 01 (voir réponses et correction )
Par exemple 4 , 6 et 9 sont premiers entre eux dans leur ensemble (pas de diviseur commun à ces trois nombres autre que 1) mais ne sont pas premiers entre eux deux à deux puisque PGCD(4; 6) = 2 etPGCD(6;9) =3
Si on veut les nombres premiers inférieurs à 100 il suffit de recommencer avec un tableau allant de 2 à 100 On voit bien que pour de petits nombres c'est assez simple de trancher entre premier et non premier
On dit que deux nombres sont premiers entre eux quand ils ont pour unique diviseur commun 1 ; c’est-à-dire que leur PGCD est 1 Pour déterminer si deux nombres sont premiers entre eux : ••••Soit on trouve un diviseur commun évident : souvent 2 ou 5 ou 10 ; ils ne sont donc pas premiers entre eux ; ••••Soit on calcule leur PGCD
Peut-on en déduire que tous les nombres de Fermat sont premiers ? 2 On considère l’algorithme ci-dessous : La valeur affichée à la fin de l’exécution est 641 Que peut-on en déduire ? Partie B L’objectif est de prouver que deux nombres de Fermat distincts sont toujours premiers entre eux 1
Ces nombres sont déjà supprimés Un multiple de 10 est tout d’abord un multiple de 2 Les nombres restants sont les nombres premiers inférieurs à 100 Remarque importante :Nombres premiers entre eux Rappelons que : Deux nombres sont premiers entre eux ( on dit aussi étrangers) s’ils n'ont pas de diviseurs
On montre que deux nombres de Fibonacci consécutifs sont premiers entre eux, c’est-à-dire que pour tout entier naturel n, PGCD(f n;f n+1) = 1 C’est vrai si n= 0 car PGCD(f0;f1) = PGCD(0;1) = 1 On suppose que PGCD(f n;f n+1) = 1 Si d est un diviseur commun à f n+1 et f n+2 alors d divise f n+2 f n+1 = f n Ainsi, d est un diviseur
3)Démontrer que deux nombres impairs consécutifs sont premiers entre eux Soit n un entier naturel Si n = 0, alors n+1 = 1 et n + 3 =3 or 1 et 3 sont premiers entre eux Un nombre impair peut s'écrire sous la forme 2n + 1 L'impair consécutif à 2n + 1 sera donc 2n + 3 Si n = 0, alors 2n+1 = 1 et 2n + 3 =3 or 1 et 3 sont premiers entre eux
L’HISTOIRE DES NOMBRES PREMIERS I) LES PREMIÈRES TRACES DES NOMBRES PREMIERS Les plus anciennes traces des nombres premiers remontent à 20 000 ans avant notre ère, sur un os appelé l’os d’Ishango retrouvé au Congo, près du Lac Edward Voici deux vues de cet os : On y trouve des entailles marquant les nombres 11, 13, 17 et 19
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1) Calcule le PGCD de 60 ; 72 et 84 1) On commence par
1) 756 et 441 sont des multiples de 3, donc ils ne sont pas premiers entre eux 2) 756 441 n’est donc pas irréductible On calcule le PGCD de 756 et 441 (ce sera un multiple de 3) ; il s’agit de 63 756 12 441 7 = 3) Q = 756 19 12 19 72 19 91 13 441 42 7 42 42 42 42 6 + = + = + = =
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Exercice 1 : 1) 2) 1) 2) b) - Mathovore
1) Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ? Justifier 2) La fraction 756 441 est-elle irréductible ? Sinon, l’écrire sous forme irréductible en justifiant, sur la copie, par des calculs 3) Calculer la somme D = 756 441 + 19 21 Devoir maison n°1 Exercice 1 : On pose M = 20 755 9 488 – 3 8
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ACTIVITES NUMERIQUES ( 12 points )
1) Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ? Justifier 2) La fraction 756 441 est-elle irréductible ? Si non, l’écrire sous forme irréductible en justifiant 3) Calculer la somme D = 756 441 + 19 21 Exercice 3 : ( 2 points ) Un magasin spécialisé dans la vente d'accessoires automobiles vend un modèle de pneu à 120 € l
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1) Calcule le PGCD de 60 ; 72 et 84
1) Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ? Justifie 2) La fraction 756 441 est-elle irréductible ? Si non, l’écrire sous forme irréductible en justifiant 3) Calcule la somme Q = 756 19 441 42 + et donne le résultat sous forme irréductible Devoir libre 5 1) Calcule le PGCD de 60 ; 72 et 84
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SÉRIE 1 : DIVISEURS , PGCD
Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ? Justifier b La fraction 756 441 est-elle irréductible ? Si non, l’écrire sous forme irréductible en justifiant c Calculer la somme S= 756 441 19 42 et donner le résultat sous forme irréductible
Académies Simplification Application à Nombres Application
756 441 + 19 21 Corrigé : 1/ l’algorithme d’Euclide donne : 756 = 441×1 + 315 441 = 315×1 + 126 315 = 126×2 + 63 126 = 63×2 + 0 Le dernier reste non nul est le pgcd donc : pgcd (756 ; 441) = 63 Le pgcd des deux nombres n’est pas égal à un donc ils ne sont pas premiers entre eux 2/a/ La fraction n’est pas irréductible car
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aBCA = 26° Calculer BC (arrondir au cm)
1) Comme 756 et 441 sont divisibles par 3 alors ils ne sont pas premiers entre eux 0,5 pt 2) On applique l’algorithme des soustractions Comme 63 est le résultat de la dernière différence non nulle alors PGCD( 756 ;441) = 63 2 pts 3) Pour rendre une fraction irréductible on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD 756 441 =
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ac-dijonfr
756 19 441 21 D = + Correction : 1) 7 5 6 18+ + = et 4 4 1 9+ + = : 9 et 18 sont deux multiples de 9, donc les nombres 756 et 441 sont divisibles par 9 : ils ne sont donc pas premiers entre eux 2) Les nombres 756 et 441 ne sont donc pas premiers entre eux, donc la fraction 756 441 n’est pas irréductible Déterminons le PGCD de 756 et
Justifier Les nombres 756 et 441 ne sont pas premiers entre eux car ils sont tous deux divisibles par 3 756 252 3et441 147 3 = × = × 2 La fraction 756 441
Int Bcorrection
1) Justifier que c est un diviseur commun à 935 et 385 2) On veut utiliser le 1) Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ? Justifier 2) La fraction
eme arithmetique exercices
1) Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ? Justifier sans faire de calcul 2) Calculer le PGCD de 756 et 441 3) Simplifier la fraction 756 441
controle
1. Interrogation écrite N°1. Correction. 3B. Exercice 1 : (6 points). 1. Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
a00a. 7a. 143. = 7a est un entier donc a00a est bien divisible par 143. 1) Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ? Justifie. 2) La fraction. 756.
12 déc. 2006 Exercice 3. 1°) Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ? Justifier. 2°) Calculer en indiquant les étapes le PGCD de 756 et 441.
Exercice p 64 n° 96 : (Besançon 2000). 1) Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ? Justifier. 2) La fraction. 756. 441 est-elle irréductible ?
http://col58-renecassin.ac-dijon.fr/IMG/pdf/Exercices-3.pdf
19 oct. 2010 Donner un exemple. Exercice 3 : 1) Les nombres 5 832 et 4 674 sont-ils premiers entre eux ? Justifier de la manière la plus simple possible.
(22n+i. +1). 2. On pose Fn = 22n. +1. Montrer que pour m = n Fn et Fm sont premiers entre eux. 3. En déduire qu'il y a une infinité de nombres premiers.
1) Les nombres 682 et 352 sont-ils premiers entre eux ? Justifier. 2) Calculer le plus grand diviseur commun (PGCD) de 682 et 352.
1) Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux? lustifief. 2) La fraction ffi est-elle irreductible ? Sinon I'ecrire.
Démontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est impair; dans le Démontrer que si a et b sont des entiers premiers entre eux
(6 points) 1. Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux