Soit Kun compact d’un espace m etrique E Alors toute fonction f: KR est born ee et atteint ses bornes Proposition Soit f: EF une fonction Alors : 1 l’image r eciproque par fd’un ouvert de F est un ouvert de E; 2 l’image r eciproque par fd’un ferm e de F est un ferm e de E; 3 l’image directe par fd’un compact de Eest un
1 Montrer que si Aest compact et B ferm´e dans E alors A+B est ferm´e dans E 2 Montrer que si Aet B sont compactes alors A+B l’est aussi 3 Soient A= R×{0}et B = {(x,y ) ∈R2 xy = 1 } Montrer que A et B sont des ferm´es de R2 mais que A+B n’en est pas un Exercice 12 Soit ( E, k k) un espace vectoriel norm´e et X⊂E une partie
1 4Topologie: ouvert,fermé,compact Chapitre1 3) OnditqueFestunfermé deRn siC RnFestouvert 4) On dit que U est borné, s’il existe une boule qui contient tout les élémentsdeU,c’est-à-dire
• Normalement Ouvert et Normalement Fermé selon modèles SMART-T – MOTEUR THERMIQUE LINEAIRE COMPACT FR0P-0267-0506R1-FR03 2 REFERENCES Table 1 Moteurs
F fermé,F⊃A F Proposition 7 Soit Aune partie d’un espace topologique a) Aest un ouvert contenu dans A b) Si Uest un ouvert et U⊂ A, alors U⊂ A Autrement dit, Aest le plus grand ouvert contenu dans A a’) Aest un fermé contenant A b’) Si F est un fermé et F⊃ A, alors F⊃ A Autrement dit, Aest le plus petit fermé
Or tout ouvert non vide contient un ensemble de la forme aZ + b, qui est en bijection avecZ etdoncinfini Exercice3 Vraisoufaux? (a)Unespacetopologiqueestdiscret(i e chaqueU⊆Xestouvert)sietseulementsichaque singleton{x}⊆Xestouvert (b)PourunespacetopologiquefiniX,sitoutsingleton{x}⊆Xestfermé(i e X\{x}⊆X
ouvert) contenant x et qui soit contenu dans Non, et e d’une manière forte En effet, pour tout x € , il suffit de considérer la boule ]x-r ; x+r[ intersecte Par conséquent, n’est pas ouvert Plus préisément, = intérieur de ≠ Ø Fermé ? est-il ouvert ? On fixe x il y a 2 cas : (1) x < 0 On peut prendre comme boule
D e nition 1 1 2 Soit Eun espace vectoriel sur K = R ou C Une norme sur Eest une application jj:jj: ER+ v eri ant les propri et es suivante : (1) jjxjj= 0 si et seulement si x= 0
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1 Ouvert, ferm e, compact - École Polytechnique
1 Ouvert, ferm e, compact 1 1 Espace m etriques D e nition (distance, espace m etrique) Soit Eun ensemble On dit qu’une application d: E ER+ est une distance sur Esi dv eri e les trois propri et es suivantes : (i) Propri et e de s eparation : 8x;y2E;d(x;y) = 0 )x= y (ii) Propri et e de sym etrie : 8x;y2E;d(x;y) = d(y;x) Taille du fichier : 172KB
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I Ouverts, ferm´es - Claude Bernard University Lyon 1
1 Montrer que si Aest compact et B ferm´e dans E alors A+B est ferm´e dans E 2 Montrer que si Aet B sont compactes alors A+B l’est aussi 3 Soient A= R×{0}et B = {(x,y ) ∈R2 xy = 1 } Montrer que A et B sont des ferm´es de R2 mais que A+B n’en est pas un Exercice 12 Soit ( E, k k) un espace vectoriel norm´e et X⊂E une partie compacte Montrer que toute partie
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Math Analyse III automne 2020 Feuille 2 : Fonctions de
ouvert, fermé, ni l’un ni l’autre, convexe, borné, compact (a) f(x;y)= p 4 x2 y2 (b) f(x;y)= ˆ 1 x2 y2 1 ˙1=2 (c) f(x;y;z)=ln(xyz) 1
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CM 2 - Fonctions, graphes, compositions
Déterminer la nature (ouvert, fermé, borné, compact) et dessiner le domaine de définition et l’image des fonctions suivantes f: D • R2 ÝÑ , px;yqÞÑ q lnpx 2 y 1q x2 y2 Réponse : D f px;yqPR3 x2 y2 1 ¡0;x2 y2 ˘0 ( R2ztp0;0qu plan moins l’origine (ouvert non
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Espaces topologiques compacts - Free
Théorème Tout compact est fermé Démonstration Soit K un compact de X (On peut avoir K=X) Montrons que Kc est ouvert Si Kc 0/alors la démonstration est terminée Sinon soit x Kc Comme X est un espace séparé, pour tout y dans K, on peut trouver un ouvert Ox y contenant x et un ouvert Oy contenant y tel que x y y 0/ Mais on a l’inclusion K y K Oy 4
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TD Equationsdifférentiellesetcalculdifférentiel Feuille3
Exercice 1 1 16 Montrerquelesconcepts“ouvert”,“fermé”,“borné”,“compact” pour unsous-ensembleA ˆRn nedépendentpasdelanormechoisie Exercice 1 1 17 Soit (E;k: k) un espace vectoriel normé Prouver chacune des affirmationssuivantes,ouendonneruncontre-exemple: a)L’ensemblevideestcompact b)Unsingletonestcompact
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MAT303 - Université Grenoble Alpes
(c)Si un ensemble n’est pas ouvert, alors il est fermé (d)Un ensemble peut être ouvert et fermé en même temps (e)Le complémentaire d’un ouvert est un fermé (f)L’intersection quelconque d’ouverts est un ouvert (g)L’intersection quelconque de fermés est un fermé (h)Une union finie de compacts est un compact (i)Un ouvert de R contient forcément un intervalle fermé [a, b] avec b >a
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Topologie de R L’espaces fonctionnels C a,b A)
1 Si A et B sont ouverts, alors A+B est ouvert 2 Si A et B sont fermés, alors A+B est fermé 3 Si A et B sont compacts, alors A+B est compact 4 Si A est fermé et B compact, alors A+B est fermé Exercice 7 (Uniforme continuité et théorème de Heine ) On dit qu’une fonction f est unifor-mément continue sur A si la condition suivante est réalisée :
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Exo7 - Exercices de mathématiques
1 Montrer que si A est compact et B est fermé, alors A+B est fermé 2 Donner un exemple de deux fermés de R2 dont la somme n’est pas fermé Indication H Correction H [002376] Exercice 8 Soit f : RnRn une application continue Elle est dite propre si pour tout compact K ˆRn, l’image réciproque f 1(K) est compact Taille du fichier : 185KB
1 Ouvert, fermé, compact 1 1 Espace 1 2 Ouverts, fermés Définition Pour tout On appelle boule fermée de centre x0 et de rayon r l'ensemble ¯ B(x0,r) = {x
Cours
Un recouvrement ouvert d'une partie A de X est une famille (Vj)j∈J d'ouverts dont la Toute partie compacte d'un espace topologique séparé est fermée
ch compacite
4 1 2 Recouvrement d'ouverts, intersections de fermés 35 3 4 1 3 Quelques propriétés des compacts et caractérisations des compacts
TopoL
Tout intervalle fermé et borné est un compact en ce sens que toutes ses suites ont Définition 3 3 1 On appelle recouvrement ouvert de A toute collection d'ou-
M Chap
On appelle B(a, r) = {x ∈ Rn / x − a < r} la boule ouverte de centre a et de X ⊂ Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu'il existe R > 0 tel
VAR Cours et
Preuve Supposons que f est continue sur X et donnons-nous un ouvert U de Y Soit x ∈ f −1(U) Si X est compact et Y ⊂ X est fermé, alors Y est compact
MAT SlidesAmphi ContinuiteEtCompacite Video
1 3 Ensembles ouverts et ensembles fermés 10 3 1 Définition avec les ouverts et les fermés 3 2 1 Image directe d'un compact
topo copie
10 mar 2008 · Vous pouvez vérifier que chacun de ces trois ensembles est ouvert en utilisant des N'étant pas fermé A n'est pas compact non plus Notons
corrige
ce qui est fermé car par (T3) ⋃i∈I Ui est ouvert 1 2 Espaces normés Un espace topologique X est compact si tout recouvrement ouvert de X admet un sous-
poly
1 6 Ouvert, fermé et voisinage fines que celle d'intervalles ouvert, fermé, semi- ouvert k vit dans l'intervalle I1, dont on sait qu'il est compact d'apres le
coursTopo
Définition 3 3 1 On appelle recouvrement ouvert de A toute collection d'ou- verts {Ui}i?I de (Ed) telle que A ? ?i?IUi Le recouvrement est dit fini si I
Un recouvrement ouvert d'une partie A de X est une famille (Vj)j?J d'ouverts dont la Toute partie compacte d'un espace topologique séparé est fermée
On sait que S est fermé Pour montrer que S est compact il suffit de montrer qu'il est borné car Mn(R) est de dimension finie
On appelle norme de x (ou longueur) x = ?x x?1/2 et la distance entre deux vecteurs d(x 1 Rn et ? sont ouverts (et donc aussi fermés)
1 Espaces métriques 1 Distance boules ouverts fermés 1/On dit que (Ed) est compact si de tout recouvrement ouvert de E on peut extraire un
1? L'ensemble A est-il ouvert ? Est-il fermé ? Déterminer ensembles suivants sont-ils fermés ? Sont-ils compacts ? Déterminer leus adhérences 1?
Exemple Les intervalles fermés et bornés de IR sont des espaces compacts pour la i=1 n ¡ Uj Ki¢ j£ J est donc un recouvrement ouvert de Ki
3 1 Définition avec les ouverts et les fermés 3 2 1 Image directe d'un compact Montrer que [01[ n'est ni ouvert ni fermé (dans (R ))
[PDF] Espaces métriques compacts