Donc, pour tout réel a, la fonction f est dérivable en a, et f a a 2 On a donc défini sur R une fonction, notée f dont l'expression est f x x 2 Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de f Définition 1: Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I
Définition: Si pour tout réel A positif, il existe un réel B tel que pour tout x > B on a f(x)> A alors on dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ Exercice 6 : On considère la fonction f définie sur [3 ; + ∞ [ par f(x)=x3 En utilisant la définition, démontrer que la fonction f a pour limite + ∞ en + ∞
locale si, pour tout crible couvrant ~ de tout ouvert U de X , P(U) est vraie si et seulement si P(V) est vraie pour tout V E ~ ° Par exemple, ~tant donn~ f : X ~ , la propri~t~ "f est continue sur U " est locale° 2 Faisceaux Pr~cisons la notion de fonction donn~e localement sur X
cours -fct affines
• Lorsque b = 0, la fonction est dite linéaire, comme par exemple, f(x) = -3x • Lorsque a = 0, la fonction est dite constante, comme par exemple, f(x) = 3, pour tout réel x Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction affine f : x a ax + b est une droite On dit que cette droite a
Pour que ceci ait un sens, il faut montrer l’unicit´e de la limite — quand elle existe Proposition 2 2 2 Si une fonction admet ℓ et ℓ′ pour limites en un mˆeme point x 0, alors ℓ = ℓ′ D´emonstration Mˆeme principe que pour l’unicit´e de la limite d’une suite Nous avons clairement les ´equivalences : lim x→x0 f(x
6= ∅, et pour tout x ∈ D ∩Va ∩V′ a: f (x)∈ Vℓ ∩Vℓ′ =∅ — contradiction (ii) Faisons l’hypothèse que f est définie en a et possède une limite ℓ en a Pour tout voisinage Vℓ de ℓ, il existe alors un voisinage Va de a pour lequel : ∀x ∈ D ∩Va, f (x)∈ Vℓ En particulier, f étant définie en a,
si, pour tout intervalle ouvert I contenant l, il existe un réel m tel que pour tout x>m f(x) appartient à I La limite de la fonction f quand x tend vers moins l'infini est l si, pour tout intervalle ouvert I contenant l, il existe un réel m tel que pour tout x
Pour tout , On dit que « la fonction exponentielle l’emporte sur les fonctions puissances » Si ce taux d’accroissement admet une limite finie en , on dit
Pour éviter cette théorie, nous allons définir l’espérance d’une variable aléatoire seulement dans deux cas particuliers : pour les variables discrètes d’une part et pour les variables absolument continuesd’autrepart 1 1 X v a r discrète X(ω) est un ensemble fini ou dénombrable Considérons d’autre part f une fonction
which(x == a) renvoie les indices de x pour lesquels le résultat de l’opération logique est vrai (TRUE), dans cette exemple les valeurs de i pour lesquelles x[i]==a (l’argument de cette fonction doit être une variable de type « logique » (vrai ou faux)) na omit(x) supprime les observations avec des valeurs
dans , c'est à dire que les images de tous les nombres réels sont des nombres des ordonnées (partie gauche) car la fonction n'est pas définie pour les réels On a donc deux limites infinies en deux points finis, ce qui se traduit par deux
Ch Logarithme papier
La fonction réciproque de la fonction logarithme de base a est x ? ax = ex ln a, la fonction exponentielle de base a • Les fonctions puissances sont toutes les fonctions de R?+ dans R du type x toujours aliquer le théor`eme sur la limite d'un produit car on a parfois t?(lnt)?dt a une limite finie quand x tend vers +?
new.croissance
Pour voir que cet énoncé est vrai, il faut montrer que, pour tout ? > 0, il existe De même, la fonction f est continue sur les intervalles ]1, 4[ et ]4, +?[ car elle est être prolongée par continuité, car elle n'admet pas une limite finie en ce point
TD corrige
V( x, y, ), est localement olotrope aussi longtemps que toutes les fonctions données I Le logarithme est localement olotrope pour toute valeur de x non nulle, mais non I Quand g se réduit à I, car alors les dérivées par rapport à x' des deux membres de Quand x est infiniment petite ou in finie, le second élément de
AFST Q
Suit du théor`eme des accroissements finis appliqué `a la fonction de variable réelle ˜f rayon de convergence R ? r tels qu'on ait, pour tout z ? D(z0,r) : f(z) = ? ?0 croissante Son inverse est le logarithme néperien, noté log : R? assure que la fonction F est bien définie car l'intégrale ne dépend pas du choix du
poly holo