8 6) a) If sn → 0, then for ∈ > 0 we have sn −0 = sn < ∈ for all n>N Consider sn−0 = sn 2n − √4n2 + n 4(√4n2 + n + 2n)∣∣∣∣∣ = √ 1+1/4n − 1 4(√1+1/4n + 1) Thus, sn + tn > M for all n>N, showing that lim(sn + tn) = ∞
HW SolnsMath
4 (3 4 )n−1 = 3/4 1 - 3/4 = 3/4 1/4 = 3 Therefore, ∞ ∑ n=1 2n + 3n 4n ( −1)n √ 1+n n2 (x - 2)n ∣ ∣ ∣ = lim n→∞ / 2 + n x - 2n+1 (n + 1)2 Since (2n + 2)(2n +1)=4n2 + 6n + 2 and since (n + 1)2 = n2 + 2n + 1, the above limit
exam practicesolutions
n2 + 1 − n is of the form (∞−∞) which is not determined and makes the problem 1 n + 2) = 4, so lim( 1 √ 4 + 1 n + 2 ) = 1 4 , lim( √ 4n2 + n − 2n) = 1 4
Spring MATH HW
Then rn is rational for each n, but lim rn = √ 2 is irrational Problem 4 (7 5) (c) lim (√4n2 + n − 2n) Solution (a) √ n2 + 1 − n = 1 √ n2 +1+ n → 0 (b) √ sn+1 = lim n→∞ √ sn +1= √ s + 1, and this equation has solution s = (1 + √
hw sols
2n+1 ] Hence sn → 1 2 So, ∑ n 1 4n2−1 = 1 2 (b) The partial sum sn = 2[1 + 1 But for x=-1, the series converges to −∞ Since for x < 1 both the series ∑ n 2n ≤ 2 (n+1)2 , so the series converges (c) 1 + √ n (1 + n)3 − 1 ≤ 1 + nn Now compute Limn→∞ an+1 an = Limn→∞2( n n+1 )n+1 = Limn→∞
hw sol
(1 + (-1)n+1) ] Limits of Sequences 5 Find the limit lim n→∞ 4n3 + 5n2 - 7n + 2 (2n - 1)((2n + 1)2n - 2n) = 4n2 + 2n + 1 4n2 = 1 9 Find the limit lim n→∞ (-2 )n+3 e−4 14 Find the limit lim n→∞ (2n + 3 2n - 1 )3n+2 Solution The given n→∞ √ n + √ n + / n / n + 1 [1] l) lim n→∞ 7ncos2 n (2n + 1)(2n - 1) [0]
exercises sequences
n6 Consequently, limn→∞ bn = −∞ The sequence diverges (c) We have cn = 3n + 2n 3n − 4n = 3n(1 + 2n 3n ) −4n(1 − 3n 4n ) = − (3 4 )n 1+(2 3 )n
sol
√ n3−1)cos n n2+6 ; 74 limn→∞(1 + 2 n )
rafal
16.02.2009 1. 2 . (c) lim ?4n2 + n ? 2n = lim n. ?4n2 + n + 2n. = lim. 1. ?4+1/n + 2 = 1. 4 . 8.2. (b) The limit is 7/3. Given ? > 0 we want.
2n. 3. = +? . b) lim n?+?. 3×. 1. 5. ?.
(n + 1)3 + 1. so. L = lim n??.
Exercice 4. Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence. 1) (**) ?+? n=0 n+1. 3n. 2) (**) ?+? n=3. 2n?1.
4. ?+? n=1. (1. 2. (ch 1 n. +cos 1 n. ))n4 zn. 5. ?+? n=1. Cn. 2n 4n2?1pour x dans ]?11[ et en déduire les sommes ?+? n=0 ... et donc limn?+?.
20.03.2012 n+1 an und bei (h) dass an = n+1. 2n . Lösung: (a) lim n?? ... 4. )n. > 1. Die Folge (
lim(. ? n2 + n ? n) = 1. 2 . 7.5.b lim(. ?. 4n2 + n ? 2n). A little faster. n. ?. 4n2 + n + 2n. = 1. ?. 4 + 1 n. + 2 lim(. 1 n. ) = 0 so lim(.
1. ?4n2?12. ;. 7. limn?? n2+3n n2?7. ;. 8. limn??. 2n?1 n?7. ;. 9. limn??. ?3n6+1. 4n6?3. ;. 10. limn??. 6n3?1. 3n3+2n?4. ;. 11. limn??.
2n+1. = 4n2+3n–1– 4n2?2n+6n+3. 2n+1. = 7n+2. 2n+1. = 7n(1+. 2. 7n. ) 2n(1+. 1. 2n. ) = 7(1+. 2. 7n. ) 2(1+. 1. 2n. ) . Or lim n?+?. 1 n. = 0 donc lim.
1 n+(?1)n ? n 3) (**) ( n+3 2n+1 )lnn 4) (**) 1 ln(n)ln(chn) 5) (**) arccos 3 On en déduit que limn?+? un = 0 et par suite un ? n?+? 1 n
4 ?+? n=1 (1 2 (ch 1 n +cos 1 n ))n4 zn 5 ?+? n=1 Cn 2n 4n2?1pour x dans ]?11[ et en déduire les sommes ?+? n=0 et donc limn?+?
1 LIMITES DE SUITES I Limite d'une suite géométrique 1) Suite (qn) q >1 lim n?+? qn = 0 1 +? Exemples : a) lim n?+? 4n = +? b) lim n?+?
n?1 1 n(n + 1) Exercice 4 Étudier la nature des séries suivantes : ? n?1 Exercice 12 Montrer que la série ? n?N un avec un := ln ( cos 1 2n )
CHAPITRE 24 SOMMES DE RIEMANN 4 LE GRENIER 4 Le grenier Exercice 24 16 Déterminer pour x = 0 lim n?+o n ? k=1 n n2 + k2x2 rép : on a n ? k=1 n
quotient des limites : lim n?+? un = ?? c) un = 4n2 + 1 n(2n + 1) Montrons par récurrence que pour tout entier n un = (?4)n+1 + 1
Rayon de convergence et somme de ? n?0 x2n 2n + 1 4n2 ? 1 Exercice 94 [ 02448 ] [Correction] Pour n > 0 on pose an = ? ?/4 0 tann t dt
Supposons R(n) vraie avec n impair c'est-`a-dire que l'on peut écrire 2n +1=3k avec k ? N Alors 2n = 3k ? 1 L'entier impair suivant est n + 2 On a 2n+2 =
4 2 Série de Fourier 6 2 1 Sériestrigonométriques 4 2 Problème (?1)n 2n + 1 = ? 4 D'autre part d'après l'égalité de Parseval on a 1
Quelle est la limite de n ?
n?N est infinie, ce n'est pas dire que n vaut l'infini à partir d'un certain rang ou quelque chose de métaphysique. Dire qu'une suite (un) tend vers l'infini, cela veut dire que si on choisit un réel A (on peut ajouter « aussi grand que l'on veut »), alors un est plus grand que A à partir d'un certain rang.Comment calculer les sommes de Riemann ?
La somme de Riemann de f associée à ? et aux ?i est définie par S(f,?,?)=n?i=1(xi?xi?1)f(?i). S ( f , ? , ? ) = ? i = 1 n ( x i ? x i ? 1 ) f ( ? i ) .Comment calculer la convergence d'une série ?
Si une série est convergente, alors S = Sn + Rn (pour tout n ? 0) et limn?+? Rn = 0. uk = Sn + Rn. Donc Rn = S ? Sn ? S ? S = 0 lorsque n ? +?.- Si la série de fonctions Pfn converge uniformément sur I, alors la fonction somme S est continue sur I. n p=0 fp. Pour que la fonction somme d'une série de fonctions soit continue sur un intervalle I, il suffit que la série converge uniformément sur tout compact de I. xn n
Math 312 Intro. to Real Analysis: Homework #3 Solutions