Exercices corrigés en géométrie analytique pour lycéens
Maîtrisez la géométrie analytique avec ces exercices corrigés pour lycéens, couvrant les droites, les plans et les coniques.
Mathématiques- 1. Concepts fondamentaux de la géométrie analytique.
- 2. Applications de la géométrie analytique dans les sciences.
3e b – chapitre i – géométrie analytique – exercices - 3 - 9) le plan étant muni d’un repère (o i j, ,), on donne a(2; 1−), b(−3;5) et c(7; 4−). a) trouvez les coordonnées de a, b, c et o dans le repère (a i j, ,). b) montrez que (b j i,2 , 3−) est un repère du plan, puis trouvez les coordonnées de a,
- 3. Importance des systèmes de coordonnées.
- 4. Études de cas sur des problèmes géométriques.
- 5. Outils d'analyse en géométrie analytique.
- 6. Défis rencontrés dans l'étude de la géométrie.
- 7. Applications pratiques en ingénierie et architecture.
- 8. Impact des nouvelles technologies sur la géométrie.
- 9. Évolutions récentes en géométrie analytique.
- 10. Tendances futures en enseignement de la géométrie.
Géométrie analytique (afine ou euclidienne) exercices de jean-louis rouget. retrouver aussi cette fiche sur. exercice 1 **t dans e3 rapporté à un repère (o,i, j,k), on donne les points a(1,2,−1), b(3,2,0), c(2,1,−1) et d(1,0,4). déterminer l’intersection des plans (oab) et (ocd).
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Exercices 1 - 7 4) vecteurs colinéaires • définition : deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que u k v= ⋅ ou v k u= ⋅. • en particulier pour tout vecteur u on a 0 0= ⋅u donc le vecteur nul 0 est colinéaire à tout vecteur u. • exemples soient 6 14 u −, 9 21 v
Qu'est-ce que la géométrie analytique ?
Ceci permet de remplacer les raisonnements (souvent difficiles !) sur des figures par un calcul (en général assez simple) sur les coordonnées des points de cette figure. cette façon de faire de la géométrie a été introduite en1637 par rené descartes (1596 – 1650) et est appelée géométrie analytique.
Comment faire de la géométrie ?
Cette façon de faire de la géométrie a été introduite en1637 par rené descartes (1596 – 1650) et est appelée géométrie analytique. on fixe trois points non alignés o, i, j du plan et on trace les droites (oi) et (oj). x oi. de même il existe un nombre réelunique y . de plus op = op ¢ +op¢¢ puisque (op ¢pp¢¢ )=#.
1re cd – math i – géométrie analytique - 2 - a) systemes lineaires 1) définitions •••• une équation linéaire à 2 ou 3 inconnues est une équation de la forme : (1 ax by c où x, y sont deux inconnues et a, b) + = , c des coefficients réels
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Elles permettent alors de résoudre des équations vec-torielles, c’est à dire permettent à la géométrie d’avoir accès à la performance de l’algèbre. on peut généraliser les propriétés de l’addition et de la multiplication par un réel à d’autres ensembles que le plan vectoriel.
Quels sont les avantages de la géométrie ?
Elles permettent alors de résoudre des équations vec-torielles, c’est à dire permettent à la géométrie d’avoir accès à la performance de l’algèbre. on peut généraliser les propriétés de l’addition et de la multiplication par un réel à d’autres ensembles que le plan vectoriel.
Qu'est-ce que la géométrie analytique ?
Géométrie analytique somme et produit par un réel de 2 vec-teurs. déterminant de deux vecteurs. condition de colinéarité. distance de deux points. définition. parallélisme. alignement. repère quelconque. repère orthogonal. repère orthonormé.
Quels sont les sujets de la géométrie analytique ?
Il couvre des sujets importants tels que les points médians et la distance, les lignes parallèles et perpendiculaires sur le plan de coordonnées, la division des segments de ligne, la distance entre la ligne et un point , etc.
l'étude de la géométrie analytique est importante car elle donne les connaissances nécessaires au niveau suivant des mathématiques.
Quels sont les exemples de géométrie analytique ?
En géométrie analytique, également appelée géométrie des coordonnées, nous pensons aux objets géométriques sur le plan des coordonnées.
par exemple, nous pouvons voir que les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles en écrivant une équation linéaire pour chaque côté et en constatant que les pentes sont les mêmes .
1.1 vecteurs, bases et repères. placez dans un repère orthonormé les points suivants : a(1, 1, 0), b(0, 1, 2), c(2, 2, 3), d(-1, -2, -4). [sans corrigé] on donne les points a(4, 3, 5), b(-3, 2, 1), c(2, -3, 0) et d(0, 0, -3). trouvez les coordonnées de leurs projections orthogonales. sur le plan oxy b) sur le plan oxz.
Exercice n°6 leplanétantmunid’unebaseorthonormée,calculerlanormede→−u danslescas suivants: a) →− 6 b) − √ 2 3! c) 3 4 −1! exercice n°7 1.danslerepèreci-dessous,placerlespointsa 3 −1 ,b 2 3 etc −1 4 . exercices géométrie analytique seconde - 1 ©-
Dans tout l’exercice on travaillera dans le repère (ooioj, ,). (1) déterminer les coordonnées des points o, i, j et k. (2) a) etablir la formule qui donne la hauteur h d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur d’un côté a. b) en déduire les coordonnées des points a et b dans le repère.
Comment comprendre la géométrie analytique ?
La géométrie analytique utilise le plan de coordonnées pour étudier des concepts géométriques tels que la distance, le point médian et la pente .
chaque point du plan est spécifié par deux coordonnées (x, y).
les formules de la géométrie analytique peuvent être utilisées dans les démonstrations lorsque les coordonnées des points sont données.
1.1 vecteurs, bases et repères. placez dans un repère orthonormé les points suivants : a(1, 1, 0), b(0, 1, 2), c(2, 2, 3), d(-1, -2, -4). [sans corrigé] on donne les points a(4, 3, 5), b(-3, 2, 1), c(2, -3, 0) et d(0, 0, -3). trouvez les coordonnées de leurs projections orthogonales. sur le plan oxy b) sur le plan oxz.
Exercice n°6 leplanétantmunid’unebaseorthonormée,calculerlanormede→−u danslescas suivants: a) →− 6 b) − √ 2 3! c) 3 4 −1! exercice n°7 1.danslerepèreci-dessous,placerlespointsa 3 −1 ,b 2 3 etc −1 4 . exercices géométrie analytique seconde - 1 ©-
Dans tout l’exercice on travaillera dans le repère (ooioj, ,). (1) déterminer les coordonnées des points o, i, j et k. (2) a) etablir la formule qui donne la hauteur h d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur d’un côté a. b) en déduire les coordonnées des points a et b dans le repère.
Exercices : géométrie vectorielleet analytique a c b on choisit lerepère (a ab ac; ,): les coordonnées de a sont donc (0 ; 0), celles de b (1 ; 0) et celles de c (0 ; 1). on poseles coordonnées de a’ : ( ; ')a a , celles de b’ ( ; ')b b et celles de c’ : ( ; ')c c . 1. a. montrez que 1 2 ' 2 ' c a c a + = = puisque 2 ' 1 2 ' a b a b =
1 avertissement avant de commencer la lecture, voici plusieurs points dont il faut avoir conscience : la g ́eom ́etrie analytique n’est en aucun cas un moyen de se substituer `a la g ́eom ́etrie eu-clidienne. bien souvent, c’est au contraire une bonne maitrise de la g ́eom ́etrie classique qui permet d’orienter et de simplifier les calculs. il s’ag...
A l’aide du repère écrire ces longueurs en fonction des coordonnées des points de départ ( , , et ). calculer la longueur du segment . en utilisant les questions 3 et 4 trouver une formule pour calculer la longueur d’un segment dans le cas général. propriété : soient deux points.
Pour tout point m du plan, on appelle couple des coordonnées de m le couple des coordonnées du vecteur ðð→ om dans la base (⃗i,⃗j). autrement dit, le couple des coordonnées du point m est l'unique couple (x;y) tel que : ðð→ om = x ð→ i +y ð→ j. on note m(x;y). on appelle x l'abscisse et y l'ordonnée du point m. propriété ...
Introduction à la géométrie analytique 21 novembre 2021 1 exercices autour du cours 1.1 pour commencer exercice 1. (affixe du centre d’une similitude, à retenir) soit a, b, c et d quatre points distincts. calculer l’affixe du centre de la similitude envoyant a surcetbsurd. exercice 2. soit abc un triangle.
Les méthodes analytiques sont tr`es calculatoires si l'on n'y prend pas garde on se re- trouve bien souvent avec des expressions de moins en moins
{ formulent des équations de droites données : un point et l'ordonnée à l'origine la pente et l'ordonnée à l'origine la pente et l'abscisse à l'origine deux
Elle consiste à choisir une équation du système et à exprimer à l'aide de celle-ci une des inconnues en fonctions des autres (le choix le plus judicieux
En géométrie analytique tous les points sont décrits dans un repère par un couple de coordonnées: • l'abscisse − qui se lit sur l'axe horizontal et qui
31 10 2010 · vocabulaire : dans une équation réduite de droite de la forme y = mx + p alors : m se nomme le coefficent directeur de la droite ou la pente de
Dans une classe de 30 élèves il y a 6 filles de plus que de garçons quel corrigé 1 a) c = 3 b) x = 12 c) m = 2 d) y = 02 ou 1/5 e) x = 4 f) m
1 calculer x pour que le triangle abc soit rectangle en b 2 calculer les coordonnées du point m milieu de [ac]
Martin rakovsky
1 Avertissement Avant de commencer la lecture, voici plusieurs points dont il faut avoir conscience : La g ́eom ́etrie analytique n’est en aucun cas un moyen de se substituer `a la g ́eom ́etrie eu-clidienne. Bien souvent, c’est au contraire une bonne maitrise de la g ́eom ́etrie classique qui permet d’orienter et de simplifier les calculs
2 quelques outils
Dans les cours qui suivent, on utilisera librement certains objets qui ne sont pas au programme de lyc ́ee. On commence par un objet que l’on sera fr ́equemment amen ́e `a utiliser :
D e f
G h i la quantit ́e a(ei - fh) + b(fg - di) + c(dh - ge). Cette quantit ́e est aussi appel ́ee d ́eterminant des lignes (a; b; c); (d; e; f) et (g; h; i). Stop! L`a, il se passe des choses. Cette derni`ere notation sera fr ́equemment utilis ́ee par la suite, il est donc important d’en comprendre les divers ressorts
2.2 la notion de degr ́e de libert ́e
Il s’agit ici plus d’un vocabulaire que nous emploierons par la suite qu’un r ́eel outil math ́ematique. Le degr ́e de libert ́e est une notion intuitive donnant le nombre de directions dans lesquelles peut varier un objet g ́eom ́etrique
3 la m ́ethode cart ́esienne
La g ́eom ́etrie cart ́esienne poss`ede deux composantes : le calcul en coordonn ́ees cart ́esiennes, que l’on apprend au lyc ́ee, et l’utilisation de la trigonom ́etrie pour ́etablir soit des formules d ́ependant des angles soit des formules d ́ependant des longueurs
3.1 les coordonn ́ees cart ́esiennes
Nous n’allons pas faire de th ́eorie dans cette partie ́etant donn ́ee que les m ́ethodes de calcul en coordonn ́ees cart ́esiennes sont vues au lyc ́ee
3.2 le trigo/length bashing
Il ne s’agit pas `a proprement parler, de g ́eom ́etrie cart ́esienne, ni mˆeme de g ́eom ́etrie analytique. Toutefois, le length/trigo bashing est une m ́ethode qui m ́erite qu’on y prˆete attention. L’esprit de cette m ́ethode est que ”tout est calculable”
Aia ra x + y + z
Par ailleurs, par puissance du point A par rapport au cercle antartique, on sait que AI AIA = AB AC. Puisqu’on a le rapport de AI et AIA et son produit, on est en mesure d’obtenir un expression de chacun des deux en fonction de x; y et z ou en fonction de a; b et c
3.2.3 la formule de stewart
La formule dans cette section sert `a calculer la longueur de n’importe quelle c ́evienne issue d’un sommet d’un triangle. Il s’agit d’une g ́en ́eralisation de la formule de la m ́ediane. On la pr ́esente sans plus attendre :
D = xy xy donc pm = .
D Les triangles PMB BP x et CMA sont semblables donc = bx b d donc BP = et on trouve de mˆeme d CP = cy . On a tout ce qu’il faut pour appliquer l’ ́egalit ́e de Ptol ́em ́e (dont la preuve est un d exercice du chapitre sur les nombres complexes) :
3.3 quand utiliser (ou pas) la g ́eom ́etrie cart ́esienne ?
Ce chapitre s’est en fait beaucoup concentr ́e sur le trigo/length bashing et moins sur l’aspect cart ́esien. On pourrait donc penser que l’on n’a pas vraiment fait de g ́eom ́etrie analytique pour l’instant. Cependant, l’int ́erˆet est de montrer que tout est calculable avec un peu de patience
4.1.2 interpr ́etation g ́eom ́etrique
Les complexes ont une interpr ́etation g ́eom ́etrique tr`es puissante, que l’on regarde sans tarder. Soit A un point du plan, rep ́er ́e par les coordonn ́ees (a; b). On appelle affixe du point A le nombre complexe a + ib
J j
Z0 j j z z jj O Regardons `a pr ́esent la traduction g ́eom ́etrique de la notation sous forme exponentielle. Jusqu’ici, la forme dite alg ́ebrique (c’est-`a-dire l’ ́ecriture a + ib) nous permettait de rep ́erer un point comme en cart ́esien, c’est-`a-dire avec abscisses et ordonn ́ees
Z = rei
O Voyons alors l’effet de la multiplication d’un nombre complexe : Soit Z un point d’affixe z. Regardons `a quoi correspond le point Z0, d’affixe zrei . Tout d’abord, le nombre rz poss`ede le mˆeme argument que le complexe z (`a 2 pr`es). Le point d’affixe rz figure donc sur la mˆeme demi-doite partant de l’origine que Z
4.2.1 les transformations g ́eom ́etriques en coordonn ́ees complexes
On rentre maintenant dans le vif du sujet en commenc ̧ant `a calculer certains affixes de points particulier, notamment l’affixe de l’image d’un point par un transformation g ́eom ́etrique. Dans toute la suite, le plan sera appel ́e plan complexe et les points seront exclusivement rep ́er ́es par leurs affixes
(pour cette deuxi`eme formule, remarquer que r ;a = ta r t-a)
R ;a(z) R ;a(z)-a = ei z-a a z O Voyons `a pr ́esent l’effet d’une homoth ́etie : Proposition 2. Soit Hr une homoth ́etie de centre O de rayon r. L’affixe de l’image du point Z d’affixe z par Hr est r z. Plus g ́en ́eralement, si Hr;a est l’homoth ́etie de rapport r de centre A, alors l’affixe du point Hr;a(Z) vaut r(z - a) + a
4.2.2 conditions d’alignements, de perpendicularit ́e, de cocyclicit ́e
On aurait pu choisir de parler de l’alignement et de la perpendicularit ́e avant de parler des similitudes
C - a c - a c - a
= = b - a b - a b - a ou encore (et on pr ́ef`ere cette forme l`a) :
- a d - c = -
- a d - c Passons d ́esormais `a la condition de cocyclicit ́e. Une fois de plus, les angles orient ́es nous sauvent et nous aident `a ne pas avoir `a distinguer les divers cas. Les points A; B; C et D sont cocycliques si et seulement si (AB; AC) = (DB; DC), c’est-`a-dire que les quantit ́es c-a c-d b-a et b-d ont le mˆeme argument
- a b - a c - d b - d
= - a b - a c - d b - d Les amateurs de g ́eom ́etrie projective auront reconnu le birapport des quatre points. Je vous laisse faire le lien tout seul. En pratique, on se sert rarement de cette derni`ere formule
De mˆeme b-c = -bc. ainsi, les cordes (ad) et (bc) sont perpendiculaires si et seulement si
B-c ad + bc = 0 On voit ici l’int ́erˆet de se placer dans le cercle unit ́e, dans lequel toutes les formules deviennent simples. Voyons `a pr ́esent une formule pour le pied de la perpendiculaire `a une corde du cercle unit ́e passant par un point quelconque. Exemple 7. Soit B et C deux points du cercle unit ́e et soit Z un point quelconque
- b c - b = = -bc
- b c - b + bcd = c + b Les droites (DZ) et (BC) sont perpendiculaires, ce qui se r ́e ́ecrit
En rempla ̧cant bcd par b + c - d on trouve
= (b + c + z - bcz) Dans l’exemple suivant, on calcule l’affixe du point d’intersection de deux cordes (AB) et (CD) du cercle unit ́e. La formule g ́en ́erale de l’affixe d’un point d’intersection de deux droites quel-conques se calcule de la mˆeme fac ̧on mais, puisque tr`es grande, est assez peu utilisable en pratique. Exemple 8
- a b - a = = -ab
- a b - a soit x + abx = b + a Les points X; C et D sont align ́es, on obtient de mˆeme x + cdx = c + d 0 en rempla ̧cant x par ab(b + a - x), on obtient (ab - cd)x = ab(c + d) - cd(a + b) et finalement ab(c + d) - cd(a + b) x = ab - cd On voit avec cette formule que calculer des affixes de points d’intersection devient rapidement fastidieux si on ...
Ab cd + ad bc ac bd
Avec ́egalit ́e si et seulement si le quadrilat`ere est cyclique. Exercice 6. (Droite de Simson) Soit ABC un triangle et soit D un point quelconque. Soient X; Y et Z les projet ́es orthogonaux du point D sur chacune des droites (AB); (BC) et (CA)
4.4 quand utiliser (ou pas) les nombres complexes ?
On aura vu `a travers ce chapitre que les nombres complexes ne passent pas `a toutes les sauces et qu’ils ne conviennent que pour des configurations bien choisies. Voici quelques crit`eres pour qu’un exercice se fasse bien en g ́eom ́etrie complexe. Les points sont d ́efinis par des transformations g ́eom ́etriques
