Exercices corrigés en théorie des graphes pour étudiants en mathématiques
Explorez la théorie des graphes avec ces exercices corrigés, incluant les algorithmes de parcours, les arbres et les graphes bipartis.
Mathématiques- 1. Concepts clés de la théorie des graphes.
- 2. Importance des graphes dans les mathématiques appliquées.
Exercice 7. pour chacun des graphes simples non orientés suivants, donner un exemple d’existence ou prouver l’inexistence. un graphe biparti 3-régulier de 8 nœuds. un graphe biparti 4-régulier de 11 nœuds.
- 3. Applications de la théorie des graphes dans divers domaines.
- 4. Études de cas sur des problèmes résolus par la théorie des graphes.
- 5. Outils d'analyse en théorie des graphes.
- 6. Défis rencontrés dans l'étude des graphes.
- 7. Impact des nouvelles découvertes en théorie des graphes.
- 8. Rôle des graphes dans les réseaux sociaux et les données.
- 9. Évolutions récentes en théorie des graphes.
- 10. Tendances futures en recherche sur la théorie des graphes.
1. chaque gardien va être placé sur une arête et pourra surveiller deux carrefours (sommets). le graphe ayant 11 sommets, il faudra au minimum 6 gardiens. il faut donc trouver un ensemble (minimal) d’au moins six arêtes, tel que tout sommet est incident à au moins l’une de ces arêtes.
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La série d’exercices présentés ici provient de diverses sources et notamment le roseaux (exercices et problèmes résolus de recherche opérationnelle, dunod) dont les exemplaires sont disponibles à la bibliothèque. cette série s’étoffera au cours du temps. elle contient aussi
Comment savoir si un graphe est régulier ?
Un graphe est dit régulier s'il est simple et si tous ses sommets ont le même degré. on s'intéresse dans cet exercice aux graphes réguliers dont les sommets sont de degré 3. que dire du nombre de sommets d'un tel graphe? démontrer que, pour tout p≥ 2 p ≥ 2, il existe un graphe régulier d'ordre 2p 2 p dont les sommets sont de degré 3.
Comment calculer les nœuds d’un graphe ?
Déterminer les nombres a d’arêtes et s de sommets de ce graphe. comparer la somme des degrés des nœuds de ce graphe avec celle de son dual. trouver la plus grande valeur de n pour laquelle il existe un graphe vérifiant l’énoncé et dont le dual possède une face qui est un polygone ayant n côtés. exercice 99.
Principe : parcourir le graphe à partir du point a dans le sens direct (i.e., en suivant les flèches des arcs puisque nous sommes ici dans le cadre orienté) et de créer un ensemble des nœuds parcourus.
(a)représenter le graphe ligne du graphe complet k 4, du graphe biparti complet k 2,3 et d’un cycleà6sommets. (b)donner une expression pour le nombre d’arêtes de l(g) en fonction des degrés des sommets deg. (c)montrer que si gest un graphe simple k-régulier (i.e., chaque sommet est de degré k), alors l(g) est(2k−2)-régulier.
Quels sont les différents types de graphes ?
Graphe bi-parti construit avec les nœuds sont les professeurs et les cours. les arêtes (relation symétrique) sont les cours donnés par un professeur. multi-graphe. noeuds : les ordinateurs, arêtes : liaisons (non orienté car bi-directionnelle), graphe simple (pas de boucle). problème : tracer un graphe régulier simple de degré 3.
Comment associer un graphe à une figure ?
Solution exercice 22. on peut associer un graphe à cette figure (en réalité un multigraphe car nous aurons des arêtes multiples) de la façon suivante : les sommets représentent les régions (y compris la région extérieure) et deux sommets sont reliés par autant d’arêtes que le nombre de segments communs de leurs régions (voir ci-dessous).
Qui a inventé la théorie des graphes ?
La théorie des graphes s’est alors développée dans diverses disciplines telles que la chimie, la biologie, les sciences sociales. depuis le début du xx siècle, elle constitue une branche à part entière des mathématiques, grâce aux travaux de könig, menger, cayley puis de berge et d’erdös.
Quels sont les avantages de la théorie des graphes ?
Alain hertz propose une initiation aux graphes sous forme d’énigmes policières [3]. cela illustre bien comment les graphes peuvent être utiles pour m odéliser des problèmes. théorie des graphes[1] donne une base solide, tout en restant accessible au plus grand nombre. très agréable à lire. un regret : pas d’exercices.
La théorie des graphes s’est alors développée dans diverses disciplines telles que la chimie, la biologie, les sciences sociales. depuis le début du xx. e. siècle, elle constitue une branche à part entière des mathématiques, grâce aux travaux de könig, menger, cayley puis de berge et d’erdös.
Des exercices théoriques sur les graphes, qui sont souvent des démonstrations assez simples, généralement par induction, ou par l'absurde; il y a aussi des exercices de réexion qui permettent de se rendre compte si on a bien compr is un concept ou non.
Les arbres sont des graphes particulièrement importants. un arbre peut être défini de plusieurs façons équivalentes : — comme un graphe non orienté connexe sans cycle, ou bien — comme un graphe non orienté tel que deux sommets distincts sont reliés par un et un seul chemin.
Quels sont les différents types de graphes ?
Cycle hamiltonien : cycle simple passant par tous les sommets d’un graphe une et une seule fois. graphe connexe : un graphe est dit connexe si pour toute paire de sommets de , il existe une chaîne de premier terme et de dernier terme . arbre : graphe connexe sans cycle simple et sans boucle. graphe eulérien : graphe qui possède un cycle eulérien.
Comment construire un graphe ?
Pour construire ce graphe, on a re-présenté les régions délimitées par des cloisons par les som mets ; les sommets x et y sont reliés si les régionsx et y sont séparées par une cloison. chaque cloison correspond don c à une arête du graphe. les dominos sont au nombre de 4 + 3 + 2 + 1 = 10 : 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 2-3, 2-4, 2-5, 3-4, 3-5, 4-5.
Comment travailler avec les graphes ?
Il a étérit éc par vitali petchenkine et est disponible à l’adresse web : www.nymphomath.ch/graphes/logiciel/ (la page officielle de ce programme a disparu du web). mathematica permet aussi de travailler avec les graphes. voir [5] dans la bibliographie. alain hertz propose une initiation aux graphes sous forme d’énigmes policières [3].
Que comprend la théorie des graphes ?
En mathématiques, la théorie des graphes est l'étude des graphes, qui sont des structures mathématiques utilisées pour modéliser les relations par paires entre objets .
dans ce contexte, un graphe est constitué de sommets (également appelés nœuds ou points) qui sont reliés par des arêtes (également appelées arcs, liens ou lignes).
La théorie des graphes s’est alors développée dans diverses disciplines telles que la chimie, la biologie, les sciences sociales. depuis le début du xx. e. siècle, elle constitue une branche à part entière des mathématiques, grâce aux travaux de könig, menger, cayley puis de berge et d’erdös.
Des exercices théoriques sur les graphes, qui sont souvent des démonstrations assez simples, généralement par induction, ou par l'absurde; il y a aussi des exercices de réexion qui permettent de se rendre compte si on a bien compr is un concept ou non.
Les arbres sont des graphes particulièrement importants. un arbre peut être défini de plusieurs façons équivalentes : — comme un graphe non orienté connexe sans cycle, ou bien — comme un graphe non orienté tel que deux sommets distincts sont reliés par un et un seul chemin.
1.4 chaînes et cycles. une chaînedans g, est une suite ayant pour éléments alternativement des sommets et des arêtes, commençant et se terminant par un sommet, et telle que chaque arête est encadrée par ses extrémités.
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Figure 1.2 – le graphe mod ́elisant les ponts de k ̈onigsberg sur la terre ferme. on a une arˆete entre deux sommets pour chaque pont reliant les deux r ́egions. ainsi, partir d’un point, passer par tous les ponts exactement une fois et revenir au point de d ́epart revient `a partir d’un sommet, parcourir toutes les arˆetes exactement une fois et r...
La théorie des graphes s'est alors développée dans diverses disciplines telles que la chimie, la biologie, les sciences sociales. depuis le début du 20eme siècle, elle constitue une branche à part entière des mathématiques, grâce aux traauxv de konig, menger, cayley puis de berge et d'erds.
Simple des graphes (semi-)hamiltoniens. on peut énoncer quelques propriétés et conditions su santes : un graphe possédant un sommet de degré 1 ne peut pas être hamiltonien; si un sommet dans un graphe est de degré 2, alors les deux arêtes incidentes à ce sommet doivent faire partie du cycle hamiltonien; les graphes complets k n sont ...
Introduction 1 chapitre i premier contact avec les graphes 5 1 graphes orientés 5 2 graphes non orientés 8 3 quelques exemples
Un graphe non orienté qui n'est pas simple est un multi- graphe dans le cas d'un multi-graphe a n'est plus un ensemble mais un multi-ensemble d'arêtes
Un graphe est simple s'il est non-orienté s'il a au plus une arête entre deux sommets et s'il n'a pas de boucle l'ordre d'un graphe est le nombre de sommets
1) a) recopier et compléter le tableau suivant : sommets b c d f n t degré des sommets du graphe b) justifier que le graphe est connexe
Exercice 4 comme holmes dessinons un graphe avec les sommets a b c e f g et h dans ce graphe on relie deux sommets i et j si les suspectes i et j
![[RévisionsBac.com] - Théorie des graphes](https://pdfprof.com/fr/images/images_urls_1/158_72_1_.jpg "[RévisionsBac.com] - Théorie des graphes")
La théorie des graphes est-elle une branche des mathématiques ?
La théorie des graphes est une branche relativement jeune des mathématiques , elle s'inspire donc de mots couramment utilisés dans notre langue.
une bonne façon de se familiariser avec de nouveaux usages mathématiques est d'utiliser des flashcards.
La théorie des graphes est-elle facile ?
La théorie des graphes est l'une des branches les plus intéressantes et aussi les plus difficiles des mathématiques .
elle a tellement d'applications que même un non-mathématicien apprécierait l'utilité et l'utilité de la théorie des graphes.
Qui a inventé la théorie des graphes ?
La théorie des graphes est une discipline mathématique et informatique.
elle s'occupe de l'étude des graphes.
elle a été créée par le mathématicien suisse leonhard euler en 1774 et permet de travailler sur les relations entre les données.
Est-il possible de relier 15 ordinateurs de sorte que chaque appareil soit relié avec exactement trois autres ?
Il n'est pas possible de relier 15 ordinateurs de sorte que chaque appareil soit relié avec exactement trois autres, car dans ce cas, la somme des degrés serait égale à 15\xd73 = 45 qui n'est pas pair.
Comment représenter des graphes ?
Les graphes sont généralement représentés en utilisant des points, disques ou boites pour représenter les sommets, et des courbes ou des segments pour représenter les arêtes.
pour les graphes orientés, on utilise habituellement ses flèches en bout d'arête pour représenter l'orientation.
A b
FIGURE 1.2 – Le graphe mod ́elisant les ponts de K ̈onigsberg sur la terre ferme. On a une arˆete entre deux sommets pour chaque pont reliant les deux r ́egions
P(kn; ) = ( - 1) ( - (n - 1))
Dans la litt ́erature on utilise souvent la notation
G e. soit g+
= (V; E [ e ) e G++ le graphe obtenu en ajoutant comme arˆete, et soit g e le graphe obtenu de G en identifiant a et b. Alors
P(g; ) = p(g+ ; ) + e p(g++
E ; ): PREUVE P(G; ) repr ́esent le nombre coloriages propres de G. Ceux-ci sont de deux types : les coloriages propres pour lesquels a et b sont de couleur diff ́erente. Ce sont alors des coloriages propres de G+ . Ils sont au nombre de P(G+ e ; ) ; les coloriages propres pour lesquels a et b sont de la mˆeme couleur
; ) + p(g++
; ): EXEMPLE 9 Prenons une carte g ́eographique pour laquelle on se demande quel est le nombre minimal de couleurs que l’on doit utiliser pour la colorier, sans que deux pays voisins soient de la mˆeme couleur. On mod ́elise cette carte comme un graphe planaire. Soit Gd le graphe dual, et Gd le sous-graphe induit en enlevant le sommet
25. on consid`ere les graphes de la figure 1.13.
Sont-ils isomorphes ? Montrer, sans finaliser le calcul, que leurs polynˆomes chromatiques sont ́egaux. Donner leur polynˆome chromatique.
26. on appelle wn le graphe roue `a n + 1 sommets celui-ci est compos ́e d’un cycle de longueur n avec sommets x1; ; xn (la roue), auquel on ajoute un sommet a au milieu du cycle (le moyeu), et des arˆetes entre a et chacun des sommets xi (les ra
Dessiner ce graphe et donner son nombre d’arˆetes. Si Cn est le graphe correspondant `a un cycle de longueur n, donner la relation entre (Cn) et (Wn). On consid`ere une pi`ece de forme pentagonale. De combien de couleurs au minimum doit-on disposer si on veut peindre les murs adjacents de couleurs diff ́erentes et le plafond d’une autre couleur ?
