Fonction en escalier : Exercices corrigés et pratiques

La fonction en escalier est une fonction mathématique qui représente une série de paliers. Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes qui changent de manière discrète. Dans cet article, nous allons présenter des exercices corrigés et des solutions pour comprendre cette fonction.

Mathématiques
  • Définition de la fonction en escalier
  • Représentation graphique
PDF

1 fonction en escalier (ou étagée)

1 4 dÉfinition (fonction en escalier) on appelle fonction en escalier ou étagée sur [a b] une fonction f : [a b] → r pour

  • Propriétés de la fonction en escalier
  • Calcul de la fonction en escalier
  • Interprétation des résultats
  • Conseils pour améliorer la compréhension
  • Utilisation de la fonction en escalier dans les problèmes réels
  • Comparaison avec d'autres fonctions
  • Limites de la fonction en escalier
1 intégration des fonctions en escalier

On notera que l'intégrale de f ne dépend que des valeurs prises par f `a l'intérieur des intervalles de la subdivision et non des valeurs prises par f aux 

PDF

Chapitre 5 intégration

On dit qu'une fonction f : [a b] → r est réglée s'il existe une suite de fonctions en escaliers sur [a b] qui converge uniformément vers f nous allons 

PDF

Fonction en escalier : Exercices corrigés et pratiques

Comment faire une fonction en escalier ?

Une fonction réelle définie sur un intervalle [a,b] de r est dite en escalier s'il existe des points a0\x26lt;a1\x26lt; \x26lt;an. \x26lt; a n , avec a0=a a 0 = a , et an=b a n = b , tels que sur chaque segment ]ai,ai+1[ ] a i , a i + 1 [ , i=0,…,n−1, i = 0 , … , n − 1 , la fonction soit constante.

Quelle est la fonction de l'escalier ?

La fonction de base d'un escalier est de permettre la circulation et le passage de personnes entre différents niveaux d'une maison.
mais depuis quelques années, les architectes et designers ont repensé son rôle dans l'habitation.
aujourd'hui, l'escalier est en plus, un élément pratique et esthétique.

Chapitre 17

Une fonction en escalier sur [a;b] est une fonction « constante par morceaux » c'est-à-dire pour laquelle il existe une subdivision s telle que la 

PDF

1 fonction en escalier (ou étagée)

Toute fonction constante sur [a, b] est en escalier sur [a, b]. 1.8 exemple. la fonction f : [0, 2] définie par : 8 r. 1 si 0 x < 1 ! < f (x) = 1 si x = 1 : 2 si 1 < x 2 est en escalier sur [0, 2]. pour le voir, il suffit de remarquer que la subdivision s = f0, 1, 2g est adaptée à f.

PDF

Comment faire des fonctions en escalier ?

Les deux types de fonctions en escalier sont les fonctions plancher et les fonctions plafond.
le processus de dessin d'une fonction en escalier consiste à déterminer ce qui sera affiché sur chaque axe, puis à traduire le problème en fonctions mathématiques, à tracer les fonctions sur le graphique et à déterminer les points à remplir .

Comment construire deux fonctions en escalier ?

Nous allons construire deux fonctions en escalier , + : a, b ! r définies de la façon suivante : pour chaque [ ] intervalle xi 1, [ xi[ ). i f 6 . en utilisant la continuité de f sur l’intervalle , on déduit l’existence de xi 1, xi] ai, bi [ 2 xi 1, tels que f [ xi] ( ai) = ci et f ( bi) = di.

Quelle est la différence entre une fonction en escalier et une fonction intégrable ?

L’idée est la suivante : il est facile de voir que pour des fonctions en escalier l’intégrale (qui est alors une somme finie) est linéaire. comme les fonctions en escalier approchent autant qu’on le souhaite les fonctions intégrables alors cela implique la linéarité de l’intégrale.

Qu'est-ce que la combinaison linéaire de fonction en escalier ?

Une combinaison linéaire de fonction en escalier est évidemment une fonction continues par morceaux donc e0 est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions continues par morceaux sur [, ]. c’est ce qui justifie la question 1. 1.

Exercice corrigé. Fonction en escalier
Fonction en escalier, intégrale de riemann

Exercice 3. on considère la fonction ( ) = 3 sur [0, 1]. on se propose de calculer l’aire (⋆) comprise entre le graphe de et l’axe des x sur l’intervalle [0, 1]. dessiner le graphe de sur [0, 1]. découper [0, 1] en sous intervalles de taille 1/ .

PDF

1 fonctions en escalier et int¶egrabilit¶e

1. montrer que si f est une fonction born¶ee, int¶egrable et paire sur l'intervalle [¡a; a], a r. alors f(x)dx = 2 f(x)dx, ¡a 0. 2. montrer que si f est une fonction born¶ee, int¶egrable et impaire sur l'intervalle [¡a; a], alors. r a ¡a f(x)dx = 0. exercice 9.3.

PDF

1 int egration des fonctions en escalier

Soient f;gdeux fonctions en escalier sur le m^eme intervalle [a;b] a valeurs dans le m^eme e.v.n. e(sur r ou c). alors, quels que soient les scalaires ; 2r, la fonction f+ gest en escalier sur [a;b] et on a : z b a ( f(x) + g(x))dx= z b a f(x)dx+ z b a g(x)dx. proposition 1.4 croissance.

PDF

Comment calculer l’intégrale d’une fonction en escalier ?

Il faut juste prendre garde que l’on compte l’aire avec un signe « » si ci 0 et un signe « » si ci 0. l’intégrale d’une fonction en escalier est l’aire de la partie située au-dessus de l’axe des abscisses (ici en rouge) moins l’aire de la partie située en-dessous (en bleu).

Comment savoir si une fonction est en escalier ?

Une fonction f : a, b ! r est une fonction en escalier s’il existe une subdivision et des nombres [ ] ( x0, x1,..., xn) réels c1,..., c n tels que pour tout i 2 f1,..., ng on ait autrement dit f est une fonction constante sur chacun des sous-intervalles de la subdivision. remarque. la valeur de f aux points xi de la subdivision n’est pas imposée.

Comment savoir si un Element est en escalier ?

On si tous les elements (3) on dit qu' ne fonction ' : [a;b] ! r est en escaliers s'il existe une subdivision = (x0;x1;: : : ;xn) de [a;b] telle que ' soit constante sur chacun des intervalles ]xi;xi+1[ pour i parco

Qu'est-ce que le mode de Converge fonctions en escaliers ?

Nctions plus generales. le point delicat est que le mode de converge fonctions en escaliers la notion de fonction en escali rs est assez intuitive. ous allons la pr ciser. de nition 5.1.1. soient a et b eux reels tels que a

Fonction en escalier, intégrale de riemann

Exercice 3. on considère la fonction ( ) = 3 sur [0, 1]. on se propose de calculer l’aire (⋆) comprise entre le graphe de et l’axe des x sur l’intervalle [0, 1]. dessiner le graphe de sur [0, 1]. découper [0, 1] en sous intervalles de taille 1/ .

PDF

1 fonctions en escalier et int¶egrabilit¶e

1. montrer que si f est une fonction born¶ee, int¶egrable et paire sur l'intervalle [¡a; a], a r. alors f(x)dx = 2 f(x)dx, ¡a 0. 2. montrer que si f est une fonction born¶ee, int¶egrable et impaire sur l'intervalle [¡a; a], alors. r a ¡a f(x)dx = 0. exercice 9.3.

PDF

1 int egration des fonctions en escalier

Soient f;gdeux fonctions en escalier sur le m^eme intervalle [a;b] a valeurs dans le m^eme e.v.n. e(sur r ou c). alors, quels que soient les scalaires ; 2r, la fonction f+ gest en escalier sur [a;b] et on a : z b a ( f(x) + g(x))dx= z b a f(x)dx+ z b a g(x)dx. proposition 1.4 croissance.

PDF

Feuille d’exercices n 1

Exercice 1. soit ’une fonction en escalier sur [a;b]. montrer que si ’e: [a;b] !r v eri e ’e(t) = ’(t) pour tout tsauf un nombre ni, alors ’eest en escalier. exercice 2. montrer que si ’2e([a;b]), alors f ’2e([a;b]) pour toute fonction f: r !r. exercice 3. montrer qu’une fonction ’: [a;b] !r est en escalier si et seulement si

PDF

Contents

Le produit de deux fonctions en escalier est une fonction en escalier 5 la composée de deux fonctions en escalier n'est toujours pas une fonction en escalier

PDF

Plus de mise en pratique fonction en escalier

Soit les trois représentations des fonctions suivantes a) représente les fonctions suivantes dans un plan cartésien b) détermine le domaine et l'image de 

PDF

1 fonctions en escalier, fonctions continues par morceau

1 fonctions en escalier, fonctions continues par morceau 1.1 subdivisions d’un segment définition 1.1. ∗une subdivision du segment [a,b] est une famille σ = (x0,..., xn), où a = x0 < x1 < ... < xn = b ∗les xi sont les points de la subdivision ∗les intervalles [xi, xi+1] ( resp. ]xi, xi+1[ ) sont les composantes fermées (resp ...

PDF

Chapitre 3 intégrale double

Définition 3.1. (quadrillage du rectangle r = [a, b] [c, d] (a < b, c < d)) pour définir un quadril-lage du rectangle fermé r = [a, b] [c, d] (a < b, c < d), on se donne: une subdivision a = x0 <x1 <. <xn = b de l’intervalle [a, b], une subdivision c = y0 < y1 <. < ym = d de l’intervalle [c, d].

PDF

Chapitre xxii : intégration i les fonctions en escalier

Par définitione ([a,b]) est inclus dans f ([a;b],r) et il est clair que la fonction nulle sur [a;b] toutentierestunefonctionenescalier. soient φ et ψ ∈e ([ a ; b ]) deux fonctions en escalier sur [ a ; b ] et ( λ,µ ) ∈r 2 un couple de réels.

PDF

Trouver la règle d'une fonction en escalier (partie entière)  Mathématiques  Alloprof

Comment savoir si une fonction est en escalier ?

Une fonction φ de [a, b] dans r est dite en escalier si l’on peut trouver une subdivision u = (x i) i = 0 n de [a, b] telle que φ soit constante sur chacun des intervalles ] x i − 1, x i [, (1 ≤ i ≤ n). la subdivision u est dite adaptée à la fonction φ. une fonction constante sur l’intervalle [a, b] est une fonction en escalier sur [a, b].

Qu'est-ce que la fonction partie entière ?

La fonction partie entière est un forme particulière de la fonction en escalier. une fonction en escalier est une fonction f f, telle que pour tout nombre réel x x, f (x) f ( x) est inférieur ou égal à x x. la fonction en escalier sous sa forme de base a pour équation : f (x)= [x] f ( x) = [ x]

Quelle est la subdivision adaptée aux deux applications en escalier ?

8x 2]xi, xi+1[ , f (x) = ci. si s est adaptée à f, alors toute subdivision s0 plus fine que s est encore adaptée à f. on en déduit que si f et g sont deux applications en escalier, avec des subdivisions adaptées respectives s et s0, alors s [ s0 est une subdivision adaptée aux deux appli-cations f et g à la fois.

Qu'est-ce que la fonction de base ?

Dans la fonction de base, chaque segment a un point fermé à gauche et un point ouvert à droite. extrémums il n'y a aucun extrémum. signes la fonction partie entière de base est positive pour tous les x ≥0 x ≥ 0. elle est négative pour tous les x≤ 0 x ≤ 0. axe de symétrie la fonction en escalier ne possède pas d'axe de symétrie asymptotes

Tracer une fonction en escalier (partie entière) - Exemple 1  Mathématiques  Alloprof