Optimisation avec contrainte en Bibmath : exercice corrigé détaillé
Ce document propose un exercice corrigé sur l'optimisation avec contrainte dans le cadre de Bibmath. Il aborde les techniques de Lagrange et d'autres méthodes d'optimisation pour résoudre des problèmes pratiques. Grâce à une explication pas à pas, les étudiants apprendront à appliquer ces techniques pour maximiser ou minimiser des fonctions tout en respectant certaines contraintes. Idéal pour renforcer les compétences en optimisation et préparer les examens.
Mathématiques- 1. L'optimisation avec contrainte cherche à maximiser ou minimiser une fonction sous des conditions spécifiques.
- 2. Comprendre le principe des multiplicateurs de Lagrange.
4° représenter le problème graphiquement et vérifier les résultats correction de l'exercice1 1° les indices des contraintes saturées sont ????(????∗) = {12}
- 3. Apprendre à formuler des problèmes d'optimisation avec contraintes.
- 4. Explorer d'autres méthodes d'optimisation, comme l'optimisation linéaire.
- 5. Identifier les applications de l'optimisation dans divers domaines, y compris l'économie et l'ingénierie.
- 6. Développer des compétences en modélisation mathématique.
- 7. Réviser les erreurs courantes dans la résolution de problèmes d'optimisation.
- 8. Utiliser des outils logiciels pour résoudre des problèmes complexes.
- 9. Participer à des exercices pratiques pour appliquer les concepts appris.
- 10. Évaluer vos compétences avec des problèmes d'optimisation supplémentaires.
Corrigé de l'exercice 1 1 on doit résoudre un problème d'extremum pour une fonction de deux variables soumise à une contrainte donnée sous forme d'égalité
Mathe´matiquement, un proble`me d’optimisation avec contraintes d’e´galite´ peut eˆtre e´crit sous la forme p min x∈rn f(x) s.c. gk(x)= 0, ∀k ∈{1,2,...,ℓ} (3.112) ou p max x∈rn f(x) s.c. gk(x)= 0, ∀k ∈{1,2,...,ℓ} (3.113) ou` la notation “s.c.” est l’abre´viation de l’expression “ sous contrainte”. la fonction f
Comment calculer les contraintes ?
Par contre, l'ensemble des contraintes k = (x; y) 2 r2; lorsque n ! 1 et donc f n'a pas 2; 1) sont seulement des minima xy 2; y 2x + 5 n'est pas borne (comme on vient de le voir), mais k = k+ t k avec k+ = (x; y) 2 k; x > 0; y > 0 et k = (x; y) 2 k; x < 0; y < 0 , et k+ est compact.
Comment savoir si les contraintes sont qualifiées ?
1. on rappelle qu'une condition su sante pour que les contraintes soient quali ees en (x; y) est que la famille de vecteurs de r2 rgi(x; y) soit libre, ou les gi sont les contraintes et i(x; y) est l'ensemble des indices pour lesquels les contraintes sont saturees. pour le probleme considere ici, on a g1(x; y) = 2 xy et g2(x; y) = y + 2x 5.
Comment savoir si la courbe de contrainte est régulière ?
Régularité de la courbe de contrainte. avant toute chose, on vérifie que la courbe de contrainte '(x; y) 8 est régulière. pour cela, on montre que le système suivant n’a pas de solutions : la dernière équation est impossible, donc le système n’a pas de solution. points stationnaires du lagrangien. on forme le lagrangien
Comment savoir si la courbe de contrainte est régulière ?
Régularité de la courbe de contrainte. avant toute chose, on vérifie que la courbe de contrainte '(x; y) 8 est régulière. pour cela, on montre que le système suivant n’a pas de solutions : la dernière équation est impossible, donc le système n’a pas de solution. points stationnaires du lagrangien. on forme le lagrangien