Densité de Probabilité : Exercices Corrigés à Étudier
Un guide pratique dédié à la densité de probabilité, offrant une série d'exercices corrigés qui permettent de maîtriser ce concept essentiel en statistique. Les exercices sont conçus pour favoriser une compréhension approfondie de la fonction de densité, avec des applications concrètes dans divers domaines.
Statistique- 1. Définition de la densité de probabilité et son rôle en statistique.
- 2. Différence entre distribution discrète et continue.
Chapitre lois de probabilité à densité mathscomp 1. soit f la fonction définie surr par f (t) = 1 6 t + 1 3 si t ∈[0; 2] f (t) =0 sinon. a. démontrer que f est densité de probabilité. b. soit x une variable aléatoire de densité f. calculer l’espérance et la variance de x. 2. soit y une variable aléatoire de densité g définie ...
- 3. Méthodes de calcul et d'interprétation des fonctions de densité.
- 4. Applications pratiques liées à la densité de probabilité.
- 5. Importance d'exercices pratiques pour une meilleure compréhension.
- 6. Approche critique pour résoudre des exemples variés.
- 7. Évaluation des résultats par le calcul des probabilités.
- 8. Importance des graphiques dans l'interprétation des résultats.
- 9. Erreurs fréquentes lors de l'analyse de la densité.
- 10. Ressources éducatives pour progresser sur le sujet.
Au cours de ce chapitre et ce suivant, nous allons étudier différents type de variables aléatoires grâce aux densités de probabilités associées. ces variables aléatoires modélisent de manière pertinent un phénomène précis. débutons par la loi uniforme.
Comment montrer qu'une fonction est une densité de probabilité ?
La fonction f est une densité de probabilité sur un intervalle i=\\left[ a;b \\right] si et seulement si f est continue et positive ou nulle sur i, et si \\int_a^bf\\left(x\\right) dx= 1.
Comment calculer la densité d'un intervalle ?
Une fonction de densité de probabilité sur un intervalle de réels i = [a ; b] est une fonction f définie sur i, continue et positive sur i telle que : .
pour tous réels c et d de i, p(c \x26lt; x \x26lt; d) = p(x \x26lt;d) - p(x c).
pour tout réel c de i, p(x = c) = 0 (car ).
Comment calculer la densité d'une variable aléatoire ?
Déterminer la loi de v , son espérance et sa variance. déterminer une densité de w = v 2 1 et de z = . soit u une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur ]0; 1[. soit x une variable aléatoire discrète à valeurs dans n. on note f la fonction de répartition de x. on définit sur ]0; 1[ la fonction q, appelée fonction quantile de x, par :
Comment calculer la probabilité ?
A) représenter graphiquement la densité f de x . b) exprimer selon les valeurs du réel x la probabilité p x x. représenter, au-dessous de la fonction densité, la fonction de répartition f définie pour x de r par f x=p x x c) calculer p −1 x 1 . faire apparaître cette probabilité sur le schéma.
Comment calculer la probabilité d’un événement ?
Calculer la probabilité de l’événement : [0; 973 < x 6 1; 2]. déterminer la valeur de pour que f soit une densité de probabilité. on note alors x une variable aléatoire de densité f. pour tous réels x et a tels que a > 1, calculer fa(x) = p[x>a]([x < x]). soit a > 1. déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire = ax.
Comment calculer la densité de probabilité ?
Démontrer que f est densité de probabilité. soit x une variable aléatoire de densité f . calculer l’espérance et la variance de x . soit y une variable aléatoire de densité g définie par g(t) = si t ⩾ 1 et g(t) = 0 sinon. t4 démontrer que y possède une espérance et une variance.
Comment calculer la probabilité ?
La probabilité (5000≤ ≤20000) est l'aire comprise entre l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction de densité et les droites d'équations =5000 et =20000. (5000≤ ≤20000)=∫ () . toute fonction définie, continue et positive sur un intervalle i de r telle que l'intégrale de sur i soit égale à 1.
Comment calculer la probabilité d'un événement ?
Si est une variable aléatoire continue sur [ ; ], la probabilité de l'événement { ∈[ ; ]}, où [ ; ] est un intervalle de i, est égale à l'aire sous la courbe de sur[ ; ], soit : % ( ∈[ ; ])=∫ () . ( ≤ )= ( < ), en effet ( = )=∫ ( ) =0. démontrer que la fonction définie sur [2 ;4] par densité. est continue et positive sur [2 ;4].
Quels sont les différents types de lois de probabilités à densité ?
Elle permet, en particulier, de déterminer, pour tout réel α ∈ [0; 1], le réel k tel que p (x ⩽ k) = α. cours de mathématiques pour les ts sur les lois de probabilités à densité : loi uniforme, loi exponentielle, loi normale centrée réduite et cas général.
Comment calculer la densité de probabilité d’une variable aléatoire ?
Définition 5 : on dit qu’une variable aléatoire x suit la loi normale centrée réduite n (0; 1) si sa densité de probabilité est la fonction f définie sur r par f (t) = 1 2 π e − t 2 / 2. l’aire du domaine situé sous la courbe et au-dessus de l’axe des abscisses vaut 1. la courbe c f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Variable quantitative continue de P à valeurs réelles Au découpage ∆ sont associés la densité de proportions de X : f∆ la fonction de répartition de X : F∆ quantiles : Qα ∆ les paramètres de X moyenne : μ∆ écart-type : σ∆ suit un modèle de densité f suit une distribution de densité f suit une loi de densité f si pour un découpage ∆ suffisamme...
La distribution modèle de X est décrite au moyen de : la fonction de densité ou densité de probabilité de X : f la loi de probabilité de X : P P ( c ≤ X ≤ d ) la fonction de répartition de X : F
F(x) = p (x ≤ x)
⇒ les paramètres de X quantiles : Qα moyenne : μ écart-type : σ ⇒ indépendants du découpage
Loi uniforme loi exponentielle loi normale loi du khi-deux ... Île modèle le plus couramment utilisé est le modèle normal ou gaussien Îil est également utilisé comme modèle pour une variable quantitative discrète ayant un "grand" nombre de valeurs (k) Îon supposera que la variable étudiée X suit un modèle normal moyenne μ d’écart-type σ : N(μ, σ)
Avec μ ≈ μ∆ et σ ≈ σ∆
Et Îon cherche à calculer la loi de probabilité de X : P (c ≤ X ≤ d )
2.2 fonction de répartition de z
La fonction de répartition de Z notée F est définie par :
F(z)
Sont données dans la table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
3.2 fonction de répartition de x
La fonction de répartition de X notée F est définie par :
F(x) = p(x ≤ x) = p(x
= proportion de valeurs de X inférieures à x = aire de la surface hachurée sous la densité f de X de −∞ à x X~N(μ,σ) f(x)
F(x)
Pour quelconque de x calculer de une valeur Puisque F(x) dépend des valeurs de μ et σ il est impossible de donner des tables pour toutes les valeurs de μ et σ Pour calculer F(x) la table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite suffit, en utilisant suivante la propriété
De x (2)
⇒les aires des deux surfaces hachurées sur le graphique sont égales F(z)
4.3 quantiles d une loi normale x
X suit la loi normale N(μ,σ) Le quantile d'ordre α de X noté xα est défini pour α fixé, par :
5. propriété des lois normales (1)
Suit un modèle gaussien N(μ,σ) est une valeur réelle la proportion de valeurs de X comprises entre μ−Aσ et μ+Aσ vaut :
