Exercices Corrigés sur l'Analyse de Données Multivariées
Explorez l'analyse de données multivariées avec nos exercices corrigés. Apprenez à interpréter des données complexes.
Statistique- L'analyse multivariée est essentielle pour comprendre les relations complexes
- chaque technique a ses applications spécifiques
13 10 2010 · on teste l'égalité de deux moyennes avec le logiciel sas et la proc discrim que vous étudierez plus tard dans le cours
- l'application sur des cas réels aide à renforcer les connaissances
- le suivi des tendances est crucial
23 11 2009 · la premi`ere étape consiste `a étudier la représentation graphique et la description des param`etres de position de dispersion et de relation
L'analyse statistique descriptive exercices introduction analyse univariée analyse bivariée analyse multivariée analyse multivariée l'analyse statistique
Qu'est-ce que l'analyse multivariée ?
Eléments de statistique multivariée (lois, tests...) l’analyse multivariée désigne un ensemble de méthod es et de techniques pour l’étude de tableaux de plusieurs variables décrivant plusieurs individus. plusieurs de ces techniques sont récentes leur développement étant ié l en partie à l’augmentation de performances des ordinateurs.
Quels sont les différents types d’analyse exploratoire des données ?
Varf sc(u, y; q) . une analyse exploratoire des données (à l’aide de nuages de points) peut être utile pour diagnostiquer les groupements et détecter les aberrances. d’autres possibilités incluent les profils (coordonnées parallèles), les diagrammes en étoiles, les faces de chernoff, les acp et les diagrammes andrews, correspondant à
La loi de wishart apparait comme la loi d'une matrice de covariance d'un échantillon de valeurs suivant une loi normale multidimensionnelle. elle est utilisée pour les tests de rapport de vraisemblance.
L’objectif de l’acp est la représentation graphique "optimale" des individus (lignes), minimisant les déformations du nuage des points, dans un sous-espace de dimension réduite q avec. (q < p). le but est de déformer le moins possible la réalité en explicitant au "mieux" les liaisons initiales entre ces variables.
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Quelle est la différence entre une distribution multivariée et une distribution bivariée ?
Les distributions multivariées ont des bornes naturels en terme de dépendance. dans le cas bivarié, ces deux bornes correspondent à des copules et sont strictes. dans le cas d 3, la borne inférieure ne décrit plus un modèle valide. les bornes de fréchet– hoeffding, de la série 12, peuvent s’écrire pour toute copule c(u1, . . . , ud)
Comment calculer la variance covariance ?
Soit (x, y)> un vecteur de composantes x de dimension p1 et y de dimension p2, avec p := p1 + p2, de moyenne (m1, m2)> =: m et matrice de variance covariance = s11 s12 . on a var b>y = b> 22b. maximiser cette corrélation donnera une valeur positive (pourquoi?). 7 de plus, il y aura un problème de normalisation de a et b.
Quels sont les différents types de variables multivariées ?
Plusieurs techniques d'analyse multivariée distinguent les variables dépendantes et les variables indépendantes. les variables dépendantes sont celles dont on veut prédire la valeur ; les autres variables sont appelées indépendantes 1.
Quels sont les objectifs de l'analyse multivariée ?
L’objectif de l’analyse multivariée est d’étudier les interrelations entre plusieurs variables figurant dans une base de données et, si possible, d’en généraliser les conclusions par inférence statistique.
1.1jeux de données crabes : – distribution de données – test de différences de moyennes (même longueur de carapace chez les mâles et les femelles). – séparer au mieux les groupes pour classer de nouveaux cas (manova). examens – analyse canonique : liens entre les types d’examen (livre ouvert ou fermé, par exemple)
Institut de mathématiques, université de neuchâtel suisse
Deux points de vue : individus : variables : ressemblances ou différences. recherche de groupes homogènes. liaisons entre variables. recherche d’une explication d’une variable par les autres. importance de la prise en compte des liaisons entre variables.
Quels sont les avantages de l’analyse multivariée ?
L’importance accordée aux méthodes de l’analyse multivariée correspond à une demande sociale. les sociétés actuelles font face à une pléthore d’informations spécialisées rendues plus facilement acces-sibles par le biais de l’internet.
Qu'est-ce que l'analyse multivariée ?
L'analyse multivariée, au sens large, désigne l'ensemble des méthodes d'analyse statistique qui traitent simultanément plus d'une variable. c'est à l'analyse multivariée que l'on recourt notamment pour essayer de discerner une structure dans un ensemble de données.
Comment faire une analyse de données multivariées ?
Avant de suivre une technique d’analyse de données multivariées, vous devez recueillir des données pertinentes sur le principal facteur que vous souhaitez étudier. les données peuvent être métriques ou non métriques, mais assurez-vous de recueillir des données de haute qualité. par conséquent, votre analyse dépend des données que vous utilisez.
Quelle est la différence entre une analyse multivariée et une analyse bivariée ?
En statistique, les analyses multivariées ont pour caractéristique de s'intéresser à des lois de probabilité à plusieurs variables. les analyses bivariées sont des cas particuliers à deux variables. les analyses multivariées sont très diverses selon l'objectif recherché, la nature des variables et la mise en œuvre formelle.
1.1jeux de données crabes : – distribution de données – test de différences de moyennes (même longueur de carapace chez les mâles et les femelles). – séparer au mieux les groupes pour classer de nouveaux cas (manova). examens – analyse canonique : liens entre les types d’examen (livre ouvert ou fermé, par exemple)
Institut de mathématiques, université de neuchâtel suisse
Deux points de vue : individus : variables : ressemblances ou différences. recherche de groupes homogènes. liaisons entre variables. recherche d’une explication d’une variable par les autres. importance de la prise en compte des liaisons entre variables.
Essayer de discerner une structure dans un ensemble de données. plusieurs techniques d'analyse multivariée distinguent les variables dépendantes et les variables indépendantes. les variables dépendantes sont celles dont on veut prédire la valeur ; les autres variables sont appelées indépendantes 1. on peut classer les méthodes d ...
Enfin, l’analyse multivariée, qui vise l’étude de plusieurs variables en même temps. dans ce livre, nous allons présenter seulement les méthodes de l’analyse bivariée et de l’analyse multivariée. ce livre se veut une présentation systématique des principales méthodes d’analyse des données.
Analyse de données multivariée. analystes métier, chercheurs en sciences sociales, marketers, statisticiens. pour suivre ce cours, vous devez être familiarisé avec les concepts statistiques notamment les tests d'hypothèses, les modèles linéaires, la régression.
Tout programme d’analyse factorielle est composé de trois modules, le calcul d’une matrice de covariation des p variables 2 à 2, le calcul des axes factoriels et de leur % de variance. le calcul d’aides à l’interprétation, en termes d’information. les axes factoriels sont des résumées des données du tableau initial.
Pour tenir compte du nombre de paramètres dans le modèle et la perte de degré de liberté résultant de l'accroissement de ce nombre
Qu'est-ce que l'analyse de données multivariée ?
Dans cette technique d’analyse de données multivariée, vous examinerez comment deux ou plusieurs variables métriques indépendantes sont liées à une seule variante métrique dépendante. les analystes utilisent également la régression multiple pour prévoir la variable. les “modèles de choix” sont un autre nom pour ce type de projet.
Quels sont les différents types d’analyses multivariées ?
On réalise des analyses multivariées à l’aide de modèles statistiques. les plus souvent mis en œuvre en médecine sont les régressions linéaires et logistiques, ainsi que les modèles de cox. les modèles statistiques permettent d’obtenir des petits p.
Antoine gournay
Institut de Mathématiques, Université de Neuchâtel Suisse
Introduction
La présente version des notes n’est encore qu’un brouillon (encore incomplet, probablement pas assez cohérent et riche en erreurs). Dessins, exemples et discussions viennent souvent à manquer ; l’index est incomplet
1.1 généralités et vocabulaire
“La statistique” := méthode qui consiste à observer et étudier une/plusieurs propriétés com-munes chez un groupe d’être, de choses ou d’entités. “Une statistique” := un nombre calculé à partir d’une population (d’être, de choses, ou d’entités). “Population” := la collection (d’être, de choses, ou d’entités) ayant des propriétés communes
Vecteurs
L’espace des vecteurs (colonnes ou lignes) de taille n est noté Rn. Géométriquement, un vecteur indique la position dans les coordonnées cartésiennes. Si un re-père est formé avec des axes (ici, les axes seront des variables quantitatives mesurées, e.g
X = x1e(1) + x2e(2) + + xke(k)
Tout vecteur est une combinaison linéaire d’élément de la base canonique. De plus, cette écriture est unique.
Proposition 1.2.7
Les définitions ci-dessous qui sont écrites pour des vecteurs colonnes, se transposent sans grande difficulté aux vecteurs lignes.
Matrices
Le produit scalaire a les propriétés suivantes : — Il est symétrique : hx;yi = hy;xi ; — Il est linéaire : hrx +ty;zi = rhx;zi +thy;zi
Définition 1.2.15.
Dans la suite du cours les matrices (qui ne sont pas des vecteurs) seront la plupart du temps n p (où n =nombre de variables et p =nombre d’individus dans l’échantillon) ou n n (n =nombre de variables).
La trace et le déterminant
Quelques opérations usuelles sur les matrices : L’addition : X et Y deux matrices de même taille, alors (X +Y)ij = (X)ij + (Y)ij. Multiplication par un scalaire : si X est une matrice et r 2 R un nombre réel (dans ce cours scalaire n’est qu’un mot savant pour dire “nombre réel”), alors (rX)ij = r(X)i j
Définition 1.2.22.
La trace et le déterminant d’une matrice interviendront de manière fréquente dans la suite du cours. La définition du déterminant paraîtra certainement absconse au lecteur. En réalité, cette quan-tité a beaucoup de propriétés qui rend son calcul simple (même s’il peut être long)
Lemme 1.2.26
Naux : La trace d’une matrice de taille n est la somme de ses coefficients diago-
R j pour tout i;vi 2 [0;1]g
Il y a deux type de permutations : les permutations s qui s’écrivent comme un nombre pair de transpositions, et celles qui s’écrivent comme un nombre pair de transpositions. Pour la remarque, ce lemme permet de faire quelques tours de “magie”.
8. Dans la métaphore de la course : comme n arrive en nème position (i.e. en dernière position) il n’a dépassé personne, donc il y a le même nombre de dépassements dans la course sans n et dans celle avec n. Une matrice A de taille n n envoie un vecteur de longueur n sur un autre vecteur de longueur n
B b
Il y a trois paramètres de position : la moyenne, la médiane et le mode. Étant donné plusieurs mesures d’une variable (e.g. x(j) ci-haut) la moyenne est n n
B b
DÉMONSTRATION: Exercice (utiliser les propriétés du produit scalaire)
Corrélation
En effet, si (en moyenne !) les personnes avec un écart à la moyenne positif pour la variable “lon-gueur des pieds” ont aussi un écart positif à la moyenne pour “longueur des doigts”, on présente cela comme le fait que les variables ont tendance à varier ensemble (covariance positive)
C 0 c c 3 c c = c 4 0 12
La corrélation (de Pearson) est un indicateur d’une relation linéaire entre deux variables. La matrice des corrélations est définie soit à partir des variables centrées réduites Z
B b
3 5 Ainsi, il est assez facile de voir que la corrélation est nulle. Cependant, il y a une relation assez flagrante : la seconde variable est la première variable mise au carré. Ce qui rend cette corrélation néanmoins utile est que si les variations sont faibles, une relation, même non-linéaire sera quand même détectée
L’analyse en composantes principales et ses dérivés
Ces équations s’écrivent ensemble comme une équation matricielle :
N xq = xq ˆ
L’objectif des méthodes de réduction est de réduire le nombre de variable de manière à y voir plus clair dans la masse de données qui se présentent à nous. L’objectif est de le faire en perdant le moins d’information possible, c’àd. le moins de variabilité totale possible
V(rw) = rvw = rlw = l(rw)
En fait, on choisit toujours les nouvelles données Y de sorte à ce qu’elles soient des données centrées (i.e. de moyenne nulle). Pour ce faire il suffit de poser :
Les valeurs propres sont les solutions du polynôme p(l) = det(v
Ainsi, si ces vecteurs propres existent, il est possible de supposer qu’ils forment une base orthonor-mée. D’où
Interprétation et représentation
LIdp). Or un polynôme n’est pas une équation trop vilaine à résoudre. De plus, une fois la valeur propre connue, le vecteur propre q est une des solutions (non-triviale) de l’équation
R j 9w 2 p
L’interprétation géométrique du procédé est simple. Pour se faire, plaçons-nous dans le cas où il n’y a que trois variables. Nos données peuvent être représentées par un ensemble de points dans l’espace (trois dimensionnel), chaque individu a la position xi. Le vecteur moyenne m donne le centre de masse de ce nuage de points
Corollaire 2.1.9
R tel que kwk 1 et wV = vg: Alors E (translaté par m) est un ellipsoïde qui imite le mieux possible la forme du nuage de points. Cet ellipsoïde est aussi déterminé par ses semi-axes. Or les trois semi-axes sont exactement les trois directions des vecteurs propres et leur longueur est la valeur propre associée
Y = (xi
Soit VX la matrice des variances et Q la matrice des vecteurs propres. Soit VY = QTVXQ, i.e. la matrice des variances des données exprimées dans la nouvelle base Y = XQ. Alors la variabilité totale de Y est égale à celle de X : TrVY = TrVX. Autrement dit, p
(x(j)
I b x(i))Q — scores/coordonnées des composantes (anglais : component loadings ou species scores) sont les coordonnées (dans la base canonique) des vecteurs propres, i.e. (Q)jk = qj;(k). — La proportion de la variance expliquée par la composante PCk (anglais : proportion of lk lk variance explained by PCk) est le rapport =
Vxy
Une classification est hiérarchique si elle permet de donner une hiérarchie
Comprendre le concept d’analyse de données multivariées
Nous pouvons comprendre le concept d’analyse des données multivariées en supposant que nous voulons prévoir les ventes de 2021. Il serait illogique de dire qu’un seul facteur affecte les ventes de l’entreprise pour 2021. Au lieu de cela, vous considérerez tous les aspects qui soutiennent l’impact sur les ventes
Techniques d’analyse de données multivariées
Avant de suivre une technique d’analyse de données multivariées, vous devez recueillir des données pertinentes sur le principal facteur que vous souhaitez étudier. Les données peuvent être métriques ou non métriques, mais assurez-vous de recueillir des données de haute qualité. Par conséquent, votre analyse dépend des données que vous utilisez
Conclusion
L’analyse des données multivariées vous permet de générer un résumé ou un tableau pour analyser la relation entre plusieurs variantes. Plus un problème commercial est complexe, plus il faut de variables pour obtenir un résultat précis
