Les réels sont appelés les coefficients de la fonction polynôme et n son degré Exemple : Un polynôme du second degré est un polynôme de degré 2 Il existe
´Equation du second degré `a coefficients complexes On veut résoudre l' équation ax2 + bx + c = 0, c'est-`a-dire trouver les nombres x complexes qui vérifient
Le discriminant est strictement positif, donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en fait les solutions de l'équa- tion : Calcul des solutions : x1 = −b− √
1 1 Le trimôme du second degré Définition 1 : On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynôme P(x), à coefficients réels, de la forme :
1 mai 2012 · On veut résoudre une équation de la forme 2 0 ax bx c + + = où les coefficients a, b et c sont réels et a non nul A une telle équation est associé
Une fonction polynomiale de degré deux (ou trinôme du second degré) est une fonction du signe de son coefficient dominant (le coefficient apparaissant
degré à coefficents complexes La résolution d'une équation du second degré est maintenant très simple : En effet, on peut démontrer facilement (à partir de la
(iii) Si ∆ < 0, alors l'équation (E) n'admet aucune solution réelle a : Pour toute solution ˜x de l'équation ax 2 +
Utilisation : L'équation x2 −5x +6 a deux racines distinctes car son discriminant est strictement positif (∆ = 1) Sans calculer ses racines, on sait que leur somme
RACINES D'UN TRINOME On souhaite résoudre l'équation du type "#+ "+&=0 où a, b et c sont des nombres réels donnés et a est non nul 1) Compléter l'algorithme suivant écrit en langage naturel : Langage naturel b2 – 4 x a x c ← d Si d < 0 Alors 2) À l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel, tester un programme traduisant cet
Définition : Un monôme en la variable x est une expression de la forme ax n, où a est un nombre réel, n un entier naturel n est appelé le degré du monôme a est appelé le coefficient du monôme Définition : Une fonction polynôme P en la variable x est une fonction composée d'une somme de monôme en la variable x
Exemple 1 : trajectoire d’un projectile lanc´e `a la surface de la terre La trajectoire est un arc de parabole situ´e dans un plan vertical Voir le document 16 Exemple 2 : interpolation de Lagrange Soit (x 1,x 2,x 3) et (y 1,y 2,y 3) deux ´el´ements de R3 avec x 1 < x 2 < x 3 Consid´erons les trois fonctions trinomes du second degr´e f
On dit que a est le coefficient de x 2, b le coefficient de x et c le terme constant Un polynôme du second degré est toujours défini sur ℝ; il n’est donc pas nécessaire de le répéter systématiquement Exemples : • Les fonctions suivantes définies sur ℝ sont des trinômes du second degré : x 3 x2 2 x 3 ; x 4 x2 et x 6 x2−2
D’où, S =R (p 3 2) 4 Relations entre les coefficients et les racines d’un trinôme PROPRIÉTÉ Soit un trinôme ax2 +bx+c (a 6=0) dont le discriminant D est strictement positif Les deux racines x 1 et x 2 sont telles que : x 1 +x 2 = b a et x 1 x 2 = c a
2: Un polyn^ome du premier degr e est une fonction a ne 3: x3 2x2 + 7x 5 est de degr e 3 2 ) Trin^omes Un trin^ome est un polyn^ome du second degr e Il tire son nom du fait qu’il est compos e de 3 mon^omes : ax2, bxet c 3 ) Le trin^ome comme objet On peut d e nir un trin^ome comme un objet ayant pour propri et es les trois coe cients a
Comme (x — xo)2 est un carré, il est soit nul soit positif Donc le trinôme est soit nul soit du signe de a a(x — xo)2 signe de signe de Si le discriminant est négatif, il n'a donc pas de racine Il possède donc un signe constant On montre alors qu'il est du signe de a 4 3 Conclusion S ; Le signe d u trinôme dépend du discriminant :
8x2 est un monôme de degré 2 et de coefficient 8 x3 est un monôme, de degré 3 et de coefficient 1 15x est un monôme, de degré 1 et de coefficient 15 b) Soient Un polynôme est une somme de monômes Un polynôme de la variable x sera noté souvent , Qx et tel que, Le degré du polynôme P, noté degP, est celui de
sommet ( ) Le coefficient donc la parabole admet un minimum La droite ( ) d’équation , est l’axe de symétrie de la parabole Les racines du polynôme sont équidistantes de l’axe de symétrie Savoir-faire – Représenter une fonction polynôme de degré 2 Soit la fonction définie sur par ( )
Racines carrées d’un nombre complexe On désire rechercher la racine carrée d’un nombre complexe donnée de manière algébrique, par exemple c =9+7i Méthode : 1) On cherche donc un nombre complexe z =x +iy tel que z2 =9 +7i, x et y étant des réels 2) On développe z2 =(x +iy )(x +iy) z2 =(x +iy )(x +iy )=x2 −y2 +2xyi